3．导数及其应用。
一、选择题。
2014，11】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为。
2012，12】设点p在曲线上，点q在曲线上，则的最小值为（ ）
abcd．
2011，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
ab．4cd．6
二、填空题。
2017，16】如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o．d、e、f为圆o上的点，△dbc，△eca，△fab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以bc， ca，ab为折痕折起△dbc，△eca，△fab，使得d，e，f重合，得到三棱锥．当△abc．的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为___
2013，16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为。
三、解答题。
2017，12】已知函数．
1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．
2016，12】已知函数有两个零点．
（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ设是的两个零点，证明：．
2015，12】已知函数，．
ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；
ⅱ）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数．
2014，21】设函数，曲线在点（1，处的切线为． (求； （证明：．
2013，21】设函数f(x)＝x2＋ax＋b，g(x)＝ex(cx＋d)．若曲线y＝f(x)和曲线y＝g(x)都过点p(0,2)，且在点p处有相同的切线y＝4x＋2．
1)求a，b，c，d的值；(2)若x≥－2时，f(x)≤kg(x)，求k的取值范围．
2012，21】已知函数满足．
1）求的解析式及单调区间；（2）若，求的最大值．
2011，21】已知函数，曲线在点处的切线方程为．
ⅰ）求、的值；（ⅱ如果当，且时，，求的取值范围．
2．导数及其应用（解析版）
一、选择题。
2015，12】设函数=,其中，若存在唯一的整数，使得，则的取值范围是（ ）
a． b． c． d．
解析：设=，，由题知存在唯一的整数，使得在直线的下方。因为，所以当时，＜0，当时，＞0，所以当时， =当时，，，直线恒过（1,0）斜率且，故，且，解得≤＜1，故选d．.
作为选择题，该题也可先找到满足的整数，由的唯一性列不等式组求解。由得。又是唯一使的整数，所以，解得，又，且时符合题意。故选d．.
2014，11】已知函数=，若存在唯一的零点，且＞0，则的取值范围为。
解析1】：由已知，，令，得或，当时，；
且，有小于零的零点，不符合题意．
当时， 要使有唯一的零点且＞0，只需，即，．选b
解析2】：由已知， =有唯一的正零点，等价于。
有唯一的正零根，令，则问题又等价于有唯一的正零根，即与有唯一的交点且交点在在y轴右侧记，，由，要使有唯一的正零根，只需，选b
2012，10】已知函数，则的图像大致为（ ）
解析】的定义域为且，排除d；
因为，所以当时，，在（－1，0）上是减函数；
当时，，在上是增函数．排除a、c，故选择b．
2012，12】设点p在曲线上，点q在曲线上，则的最小值为（ ）
abcd．
解析】函数与函数互为反函数，图象关于直线对称．
问题转化为求曲线上点p到直线的距离的最小值，则的最小值为．
用切线法）：
设直线与曲线相切于点，因为，所以根据导数的几何意义，得，所以切点，从而，所以。
因此曲线上点p到直线的距离的最小值为直线。
与直线的距离，从而，所以，故选择b．
2011，9】由曲线，直线及轴所围成的图形的面积为（ ）
ab．4cd．6
解析：用定积分求解，选c
二、填空题。
2017，16】如图，圆形纸片的圆心为o，半径为5 cm，该纸片上的等边三角形abc的中心为o．d、e、f为圆o上的点，△dbc，△eca，△fab分别是以bc，ca，ab为底边的等腰三角形．沿虚线剪开后，分别以bc， ca，ab为折痕折起△dbc，△eca，△fab，使得d，e，f重合，得到三棱锥．当△abc的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为___
解析】由题，连接，交与点，由题，即的长度与的长度或成正比，设，则，，三棱锥的高，则，令，，，令，即，，则，则，体积最大值为．
2013，16】若函数f(x)＝(1－x2)(x2＋ax＋b)的图像关于直线x＝－2对称，则f(x)的最大值为。
解析：∵函数f(x)的图像关于直线x＝－2对称，∴f(x)满足f(0)＝f(－4)，f(－1)＝f(－3)，即解得∴f(x)＝－x4－8x3－14x2＋8x＋15.
由f′(x)＝－4x3－24x2－28x＋8＝0，得x1＝－2－，x2＝－2，x3＝－2＋.
易知，f(x)在(－∞2－)上为增函数，在(－2－，－2)上为减函数，在(－2，－2＋)上为增函数，在(－2＋，＋上为减函数．
f(－2－)＝1－(－2－)2][(2－)2＋8(－2－)＋15]＝(8－)(8－)＝80－64＝16.
f(－2)＝[1－(－2)2][(2)2＋8×(－2)＋15]＝－3(4－16＋15)＝－9.
f(－2＋)＝1－(－2＋)2][(2＋)2＋8(－2＋)＋15]
故f(x)的最大值为16.
三、解答题。
2017，12】已知函数．
1）讨论的单调性；（2）若有两个零点，求的取值范围．
解析】（1）由于，故，当时，，．从而恒成立．在上单调递减；当时，令，从而，得．
综上，当时，在上单调递减；
当时，在上单调递减，在上单调递增。
2）由（1）知，当时，在上单调减，故在上至多一个零点，不满足条件．
当时，．令．
令，则．从而在上单调增，而．
故当时，．当时．当时，若，则，故恒成立，从而无零点，不满足条件．
若，则，故仅有一个实根，不满足条件．
若，则，注意到．．
故在上有一个实根，而又．且．
故在上有一个实根．
又在上单调减，在单调增，故在上至多两个实根．
又在及上均至少有一个实数根，故在上恰有两个实根．综上，．
法二】令，则．再令，则，而有两个零点，则有两解，即直线与曲线有两个交点；
令，则，令，则，注意到，所以在上单调递增，在上单调递减，即；
而，所以当时，；当时，所以，当有两解时，的取值范围为．
2016，12】已知函数有两个零点．
（ⅰ）求的取值范围；（ⅱ设是的两个零点，证明：．
解析】： 由已知得：
若，那么，只有唯一的零点，不合题意；
若，那么，所以当时，，单调递增；当时，，单调递减；
即：故在上至多一个零点，在上至多一个零点。
由于，，则，根据零点存在性定理，在上有且仅有一个零点．
而当时，故。
则的两根，，，因为，故当或时，
因此，当且时，
又，根据零点存在性定理，在有且只有一个零点．
此时，在上有且只有两个零点，满足题意．
若，则，当时，即，单调递增；
当时，，，即，单调递减；
当时，，，即，单调递增．
即：而极大值。
故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解。
而当时，单调递增，至多一个零点。
此时在上至多一个零点，不合题意．
若，那么。
当时，，，即，单调递增。
当时，，，即，单调递增。
又在处有意义，故在上单调递增，此时至多一个零点，不合题意．
若，则。当时，，，即，单调递增。
当时，，，即，单调递减。
当时，，，即，单调递增。
即：故当时，在处取到最大值，那么恒成立，即无解。
当时，单调递增，至多一个零点，此时在上至多一个零点，不合题意．
综上所述，当且仅当时符合题意，即的取值范围为．
由已知得：，不难发现，故可整理得：,，则。
当时，，单调递减；当时，，单调递增．
设，构造代数式：
设，,则，故单调递增，有．
因此，对于任意的，．
由可知、不可能在的同一个单调区间上，不妨设，则必有。
令，则有。而，，在上单调递增，因此：
整理得：．2015，12】已知函数，.
ⅰ）当为何值时，轴为曲线的切线；
ⅱ）用表示中的最小值，设函数（），讨论零点的个数。
解：（ⅰ若轴为曲线的切线，则切点满足，也就是且，解得，，因此，当时，轴为曲线的切线；
ⅱ）当时，，函数没有零点；
当时，若，则，，故是的零点；
当时，，以下讨论在区间上的零点的个数。
对于，因为，所以令可得，那么。
）当或时，没有零点（或），在区间上是单调函数，且，所以当时，在区间上有一个零点；当时，在区间上没有零点；
）当时，（）且（），所以为最小值点，且。
显然，若，即时，在区间上没有零点；
若，即时，在区间上有1个零点；
若，即时，因为，所以若，在区间上有2个零点；若，在区间上有1个零点。
综上，当或时，有1个零点；当或时，有2个零点；当时，有3个零点。
2014，21】设函数，曲线在点（1，处的切线为。 (求； （证明：.
解析】(ⅰ函数的定义域为，
由题意可得，故 ……6分。
ⅱ）由(ⅰ)知， ，从而等价于。
设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递减，在单调递增，从而在的最小值为。
设函数，则，所以当时，，当时，，故在单调递增，在单调递减，从而在的最小值。
2023年新课标全国卷1理科数学分类汇编 8 立体几何
一 选择题。2018，7 某圆柱的高为2，底面周长为16，其三视图如图 圆柱表面上的点在正视图上的对应点为，圆柱表面上的点在左视图上的对应点为，则在此圆柱侧面上，从到的路径中，最短路径的长度为 abc 3d 2 2018，12 已知正方体的棱长为1，每条棱所在直线与平面 所成的角都相等，则 截此正方...
年高考新课标全国卷理科数学分类汇编新
2011 2017年新课标全国卷理科数学 2018年 数学。真题分类汇编。班级 姓名 砚山县第二高级中学。王永富。目录。1 集合与常用逻辑用语3 2 函数及其性质4 3 导数及其应用6 4 三角函数 解三角形13 5 平面向量18 6 数列19 7 不等式 线性规划 推理与证明22 8 立体几何24...
年全国卷理科数学分类汇编 概率统计
班级座号 姓名分数。一 选择题。1 2012理 等轴双曲线的中心在原点，焦点在轴上，与抛物线的准线交于两点，则的实轴长为 abc.4d.8 2 2012理 设是椭圆的左 右焦点，为直线上一点，是底角为的等腰三角形，则的离心率为 abc.d.3 2013理ii 已知点a 1，0 b 1，0 c 0，1...