上海数学试卷(理工农医类)
1. 设全集。 若集合，，则___
2. 若复数满足，其中为虚数单位，则___
3. 若线性方程组的增广矩阵为、解为则___
4. 若正三棱柱的所有棱长均为，且其体积为，则___
5. 抛物线上的动点到焦点的距离的最小值为，则___
6. 若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为，则其母线与轴的夹角的大小为___
7. 方程的解为___
8. 在报名的名男教师和名女教师中，选取人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为___结果用数值表示）.
9. 已知点和的横坐标相同，的纵坐标是的纵坐标的倍，和的轨迹分别为双曲线和。 若的渐近线方程为，则的渐近线方程为___
10. 设为的反函数，则的最大值为___
11. 在的展开式中，项的系数为结果用数值表示）
12. 赌博有陷阱。 某种赌博每局的规则是：
赌客先在标记有的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的倍作为其奖金（单位：元）.
若随机变量和分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则___元）.
13. 已知函数。 若存在满足，且（，）则的最小值为___
14. 在锐角三角形中，，为边上的点，△与△的面积分别为和。 过做于，于，则___
15. 设，则“、中至少有一个数是虚数”是“是虚数”的（ ）
a) 充分非必要条件b) 必要非充分条件。
c) 充要条件d) 既非充分又非必要条件。
16. 已知点的坐标为，将绕坐标原点逆时针旋转至，则点的纵坐标为（ ）
abcd)
17. 记方程①：，方程②：，方程③：，其中是正实数。 当成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
a) 方程①有实根，且②有实根 (b) 方程①有实根，且②无实根。
c) 方程①无实根，且②有实根 (d) 方程①无实根，且②无实根。
18. 设是直线与圆在第一象限的交点，则极限（ ）
abcd)
19. （本题满分12分）
如图，在长方体中，，，分别是棱、的中点。 证明、、、四点共面，并求直线与平面所成的角的大小。
20、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
如图，三地有直道相通，千米，千米，千米。 现甲、乙两警员同时从地出发匀速前往地，经过小时，他们之间的距离为（单位：千米）.
甲的路线是，速度为千米/小时，乙的路线是，速度为千米/小时。 乙到达地后在原地等待。 设时，乙到达地。
(1) 求与的值；
(2) 已知警员的对讲机的有效通话距离是千米。 当时，求的表达式，并判断在上的最大值是否超过？说明理由。
21、（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
已知椭圆，过原点的两条直线和分别与椭圆交于点、和、. 记得到的平行四边形的面积为。
(1) 设，. 用、的坐标表示点到直线的距离，并证明。
(2) 设与的斜率之积为，求面积的值。
22、（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
已知数列与满足，.
(1) 若，且，求的通项公式；
(2) 设的第项是最大项，即。 求证：的第项是最大项；
(3) 设， .求的取值范围，使得有最大值与最小值，且。
23、（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
对于定义域为的函数，若存在正常数，使得是以为周期的函数，则称为余弦周期函数，且称为其余弦周期。 已知是以为余弦周期的余弦周期函数，其值域为。 设单调递增，，.
(1) 验证是以为余弦周期的余弦周期函数；
(2) 设。 证明对任意，存在，使得；
(3) 证明：“为方程在上的解”的充要条件是“为方程在上的解”，并证明对任意都有。
上海数学试卷(理工农医类)
19. （本题满分12分）
如图，以为原点建立空间直角坐标系，可得有关点的坐标为、、、
因为，所以，因此直线与共面，即、、、四点共面。 4分。
设平面的法向量为，则，又，故解得。
取，得平面的一个法向量。 又， 7分。
故。 10分。
因此直线与平面所成的角的大小为。 12分。
20. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
12分。记乙到时甲所在地为，则千米。
在△中，所以（千米6分。
2) 甲到达用时小时；乙到达用时小时，从到总用时小时。
当时，；当时10分。
所以 11分。
因为在上的最大值是，在上的最大值是， 所以在上的最大值是，不超过。 14分。
21. （本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分。
1) [证明] 直线：，点到的距离。 3分，所以。 6分。
2) 设：，则：.
设，. 由。
得。同理。 10分。
由(112分，整理得。 14分。
22. （本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分3分，第2小题满分6分，第3小题满分6分。
1) 由，得， 2分。
所以是首项为，公差为的等差数列，故的通项公式为4分。
2) [证明] 由，得。
所以为常数列，，即。 7分。
因为，，所以，即。
故的第项是最大项。 10分。
3) 因为，所以，当时，
12分。当时，，符合上式。
所以。因为，所以，.
当时，由指数函数的单调性知，不存在最大、最小值；
当时，的最大值为，最小值为，而；
当时，由指数函数的单调性知，的最大值，最小值 ，由及，得。 15分。
综上，的取值范围是。 16分。
23. （本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分。
1) [证明] 易见的定义域为， 1分。
对任意，所以，即是以为余弦周期的余弦周期函数。 4分。
2) 由于的值域为，所以对任意，都是一个函数值，即有，使得。 6分。
若，则由单调递增得到，与矛盾，所以。 同理可证。 故存在使得。 10分。
3) 若为在上的解，则，且，，即为方程在上的解。
同理，若为方程在上的解，则为该方程在上的解。
13分。以下证明最后一部分结论。
由(2)所证知存在，使得，. 而是函数的单调区间，.
与之前类似地可以证明：是在上的解当且仅当是在上的解。 从而在与上的解的个数相同。
故，.对于，而，故。
类似地，当，时，有。
结论成立 18分。
23(3)的后一部分结论的评分说明（满分值5分）：
2024年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）（2014上海）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是。
2．（4分）（2014上海）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z
3．（4分）（2014上海）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆+=1的右焦点重合，则该抛物线的准线方程为。
4．（4分）（2014上海）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为。
5．（4分）（2014上海）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为。
6．（4分）（2014上海）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）（2014上海）已知曲线c的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则c与极轴的交点到极点的距离是。
8．（4分）（2014上海）设无穷等比数列的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q
9．（4分）（2014上海）若f（x）=﹣则满足f（x）＜0的x的取值范围是。
10．（4分）（2014上海）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是结果用最简分数表示）．
11．（4分）（2014上海）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合=，则a+b
12．（4分）（2014上海）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3
13．（4分）（2014上海）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若e（ξ）4.2，则小白得5分的概率至少为。
14．（4分）（2014上海）已知曲线c：x=﹣，直线l：x=6，若对于点a（m，0），存在c上的点p和l上的q使得+=，则m的取值范围为。
二、选择题（共4题，满分20分）
15．（5分）（2014上海）设a，b∈r，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
16．（5分）（2014上海）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，ab是一条侧棱，pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
17．（5分）（2014上海）已知p1（a1，b1）与p2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
2024年高考上海化学试卷
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