2023年上海市秋季高考理科数学。
一、填空题。
1．计算：2．设，是纯虚数，其中i是虚数单位，则。
3．若，则。
4．已知△abc的内角a、b、c所对应边分别为a、b、c，若，则角c的大小是结果用反三角函数值表示）
5．设常数，若的二项展开式中项的系数为，则。
6．方程的实数解为___
7．在极坐标系中，曲线与的公共点到极点的距离为。
8．盒子中装有编号为1，2，3，4，5，6，7，8，9的九个球，从中任意取出两个，则这两个球的编号之积为偶数的概率是结果用最简分数表示）
9．设ab是椭圆的长轴，点c在上，且，若ab=4，，则的两个焦点之间的距离为___
10．设非零常数d是等差数列的公差，随机变量等可能地取值，则方差。
11．若，则。
12．设为实常数，是定义在r上的奇函数，当时，，若对一切成立，则的取值范围为___
13．在平面上，将两个半圆弧和、两条直线和围成的封闭图形记为d，如图中阴影部分．记d绕y轴旋转一周而成的几何体为，过作的水平截面，所得截面面积为，试利用祖暅原理、一个平放的圆柱和一个长方体，得出的体积值为。
14．对区间i上有定义的函数，记，已知定义域为的函数有反函数，且，若方程有解，则。
二、选择题。
15．设常数，集合，若，则的取值范围为（ ）
ab) (cd)
16．钱大姐常说“便宜没好货”，她这句话的意思是：“不便宜”是“好货”的（）
a)充分条件 (b)必要条件 (c)充分必要条件 (d)既非充分也非必要条件。
17．在数列中，，若一个7行12列的矩阵的第i行第j列的元素，（）则该矩阵元素能取到的不同数值的个数为（ ）
a)18b)28c)48d)63
18．在边长为1的正六边形abcdef中，记以a为起点，其余顶点为终点的向量分别为；以d为起点，其余顶点为终点的向量分别为。若分别为的最小值、最大值，其中，则满足（ ）
a) (bcd)
三、解答题。
19.（本题满分12分）如图，在长方体abcd-a1b1c1d1中，ab=2,ad=1,a1a=1，证明直线bc1平行于平面da1c，并求直线bc1到平面d1ac的距离。
20．（6分+8分）甲厂以x 千克/小时的速度运输生产某种产品（生产条件要求），每小时可获得利润是元。
1)要使生产该产品2小时获得的利润不低于3000元，求x的取值范围；
2)要使生产900千克该产品获得的利润最大，问：甲厂应该选取何种生产速度？并求最大利润。
21．（6分+8分）已知函数，其中常数；
1）若在上单调递增，求的取值范围；
2）令，将函数的图像向左平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图像，区间（且）满足：在上至少含有30个零点，在所有满足上述条件的中，求的最小值．
22．（3分+5分+8分）如图，已知曲线，曲线，p是平面上一点，若存在过点p的直线与都有公共点，则称p为“c1—c2型点”．
1)在正确证明的左焦点是“c1—c2型点”时，要使用一条过该焦点的直线，试写出一条这样的直线的方程（不要求验证）；
2)设直线与有公共点，求证，进而证明原点不是“c1—c2型点”；
3)求证：圆内的点都不是“c1—c2型点”．
23．（3分+6分+9分）给定常数，定义函数，数列满足。
1）若，求及；（2）求证：对任意，；
3）是否存在，使得成等差数列？若存在，求出所有这样的，若不存在，说明理由。
参***。一、选择题。
15．b．16．b．
17．a．18．d．
19．因为abcd-a1b1c1d1为长方体，故，故abc1d1为平行四边形，故，显然b不在平面d1ac上，于是直线bc1平行于平面da1c；
直线bc1到平面d1ac的距离即为点b到平面d1ac的距离设为。
考虑三棱锥abcd1的体积，以abc为底面，可得。
而中，，故。
所以，，即直线bc1到平面d1ac的距离为．
20．(1)根据题意，又，可解得。
2)设利润为元，则。
故时，元．21．(1)因为，根据题意有。
2) ，或，即的零点相离间隔依次为和，故若在上至少含有30个零点，则的最小值为．
22．：（1）c1的左焦点为，过f的直线与c1交于，与c2交于，故c1的左焦点为“c1-c2型点”，且直线可以为；
2）直线与c2有交点，则。
若方程组有解，则必须；
直线与c2有交点，则。
若方程组有解，则必须。
故直线至多与曲线c1和c2中的一条有交点，即原点不是“c1-c2型点”。
3）显然过圆内一点的直线若与曲线c1有交点，则斜率必存在；
根据对称性，不妨设直线斜率存在且与曲线c2交于点，则。
直线与圆内部有交点，故。
化简得。若直线与曲线c1有交点，则。
化简得，。。
由①②得，但此时，因为，即①式不成立；
当时，①式也不成立。
综上，直线若与圆内有交点，则不可能同时与曲线c1和c2有交点，即圆内的点都不是“c1-c2型点” ．
23．：（1）因为，，故，2）要证明原命题，只需证明对任意都成立，即只需证明。
若，显然有成立；
若，则显然成立。
综上，恒成立，即对任意的，3）由（2）知，若为等差数列，则公差，故n无限增大时，总有。
此时，即。故，即，当时，等式成立，且时，，此时为等差数列，满足题意；
若，则，此时，也满足题意；
综上，满足题意的的取值范围是．
2023年高考上海卷 理
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