一、选择题。
1．已知集合m＝，n＝，则m∩n等于( )a．c．
答案 a解析化简集合m得m＝的前n项和为sn，已知s3＝a2＋10a1，a5＝9，则a1等于( )
a. b．－ c. d．－
答案 c解析设等比数列的公比为q，由s3＝a2＋10a1得a1＋a2＋a3＝a2＋10a1，即a3＝9a1，q2＝9，又a5＝a1q4＝9，所以a1＝.
4．已知m，n为异面直线，m⊥平面α，n⊥平面β.直线l满足l⊥m，l⊥n，lα，lβ，则( )
a．α∥且l∥α
b．α⊥且l⊥β
c．α与β相交，且交线垂直于l
d．α与β相交，且交线平行于l
答案 d解析假设α∥β由m⊥平面α，n⊥平面β，则m∥n，这与已知m，n为异面直线矛盾，那么α与β相交，设交线为l1，则l1⊥m，l1⊥n，在直线m上任取一点作n1平行于n，那么l1和l都垂直于直线m与n1所确定的平面，所以l1∥l.
5．已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中x2的系数为5，则a等于( )
a．－4 b．－3 c．－2 d．－1
答案 d解析 (1＋ax)(1＋x)5中含x2的项为：(c＋ca)x2，即c＋ca＝5，a＝－1.
6．执行右面的程序框图，如果输入的n＝10，那么输出的s＝(
a．1＋＋＋
b．1＋＋＋
c．1＋＋＋
d．1＋＋＋
答案 b解析 k＝1，t＝，s＝1，k＝2，t＝＝，s＝1＋，k＝3，t＝＝，s＝1＋＋，由于n＝10，即k>10时，结束循环，共执行10次．
所以输出s＝1＋＋＋
7．一个四面体的顶点在空间直角坐标系o－xyz中的坐标分别是(1,1,1)，(1,1,0)，(0,1,1)，(0,0,0)，画该四面体三视图中的正视图时，以zox平面为投影面，则得到正视图可以为( )
答案 a解析在空间直角坐标系中，先画出四面体o－abc的直观图，以zox平面为投影面，则得到正视图，所以选a.
8．设a＝log36，b＝log510，c＝log714，则( )
a．c>b>ab．b>c>a
c．a>c>bd．a>b>c
答案 d解析设a＝log36＝1＋log32＝1＋，b＝log510＝1＋log52＝1＋，c＝log714＝1＋log72＝1＋，显然a>b>c.
9．已知a>0，x，y满足约束条件若z＝2x＋y的最小值为1，则a等于( )
abc．1d．2
答案 b解析由有x＝1，y＝－1，代入y＝a(x－3)得a＝.
10．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c，下列结论中错误的是( )
a．x0∈r，f(x0)＝0
b．函数y＝f(x)的图象是中心对称图形。
c．若x0是f(x)的极小值点，则f(x)在区间(－∞x0)上单调递减。
d．若x0是f(x)的极值点，则f′(x0)＝0
答案 c解析若c＝0，则有f(0)＝0，所以a正确．由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c得f(x)－c＝x3＋ax2＋bx，因为函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的对称中心为(0,0)，所以f(x)＝x3＋ax2＋bx＋c的对称中心为(0，c)，所以b正确．由三次函数的图象可知，若x0是f(x)的极小值点，则极大值点在x0的左侧，所以函数在区间(－∞x0 )单调递减是错误的，d正确．选c.
11．设抛物线c：y2＝2px(p≥0)的焦点为f，点m在c上，|mf|＝5，若以mf为直径的圆过点(0,2)，则c的方程为( )
a．y2＝4x或y2＝8xb．y2＝2x或y2＝8x
c．y2＝4x或y2＝16xd．y2＝2x或y2＝16x
答案 c解析由题意知：f，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xm＝5－，设以mf为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以ym＝4，又因为点m在c上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线c的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选c.
12．已知点a(－1,0)，b(1,0)，c(0,1)，直线y＝ax＋b(a>0)将△abc分割为面积相等的两部分，则b的取值范围是( )
a．(0,1b.
cd. 答案 b
二、填空题。
13．已知正方形abcd的边长为2，e为cd的中点，则。
答案 2解析由题意知2－·－2＝4－0－2＝2.
14．从n个正整数1,2，…，n中任意取出两个不同的数，若取出的两数之和等于5的概率为，则n
答案 8解析由题意，取出的两个数只可能是1与4,2与3这两种情况，∴在n个数中任意取出两个不同的数的总情况应该是c＝＝2÷＝28，∴n＝8.
15．设θ为第二象限角，若tan＝，则sin θ＋cos
答案 －解析 ∵tan＝，∴tan θ＝即解得sin θ＝cos θ＝
sin θ＋cos θ＝
16．等差数列的前n项和为sn，已知s10＝0，s15＝25，则nsn的最小值为___
答案 －49
解析由题意知a1＋a10＝0，a1＋a15＝.
两式相减得a15－a10＝＝5d，d＝，a1＝－3.
nsn＝n·＝＝f(n)，f′(n)＝n(3n－20)．
由函数的单调性知f(6)＝－48，f(7)＝－49.
nsn的最小值为－49.
三、解答题。
17．△abc中内角a，b，c的对边分别为a，b，c，已知a＝bcos c＋csin b.
1)求b；2)若b＝2，求△abc面积的最大值．
解 (1)由已知及正弦定理得。
sin a＝sin bcos c＋sin csin b，①
又a＝π－b＋c)，故sin a＝sin(b＋c)＝sin bcos c＋cos bsin c．②
由①，②和c∈(0，π)得sin b＝cos b.
又b∈(0，π)所以b＝.
2)△abc的面积s＝acsin b＝ac.
由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2accos.
又a2＋c2≥2ac，故ac≤，当且仅当a＝c时，等号成立．
因此△abc面积的最大值为＋1.
18．如图，直三棱柱abc－a1b1c1中，d，e分别是ab，bb1的中点，aa1＝ac＝cb＝ab.
1)证明：bc1∥平面a1cd；
2)求二面角d－a1c－e的正弦值．
1)证明连结ac1交a1c于点f，则f为ac1的中点．
又d是ab的中点，连结df，则bc1∥df.
因为df平面a1cd，bc1平面a1cd，所以bc1∥平面a1cd.
2)解由ac＝cb＝ab得，ac⊥bc.
以c为坐标原点，的方向为x轴正方向，的方向为y轴正方向，的方向为z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系c－xyz.
设ca＝2，则d(1,1,0)，e(0,2,1)，a1(2,0,2)，(1,1,0)，＝0,2,1)，＝2,0,2)．
设n＝(x1，y1，z1)是平面a1cd的法向量，则即可取n＝(1，－1，－1)．
同理，设m是平面a1ce的法向量，则可取m＝(2,1，－2)．
从而cos〈n，m〉＝＝故sin〈n，m〉＝.
即二面角d－a1c－e的正弦值为。
19．经销商经销某种农产品，在一个销售季度内，每售出1 t该产品获利润500元，未售出的产品，每1 t亏损300元．根据历史资料，得到销售季度内市场需求量的频率分布直方图，如图所示．经销商为下一个销售季度购进了130 t该农产品．以x(单位： t,100≤x≤150)表示下一个销售季度内的市场需求量，t(单位：元)表示下一个销售季度内经销该农产品的利润．
1)将t表示为x的函数；
2)根据直方图估计利润t不少于57 000元的概率；
3)在直方图的需求量分组中，以各组的区间中点值代表该组的各个值，需求量落入该区间的频率作为需求量取该区间中点值的概率(例如：若x∈[100,110)，则取x＝105，且x＝105的概率等于需求量落入[100,110)的t的数学期望．
解 (1)当x∈[100,130)时，t＝500x－300(130－x)＝800x－39 000.
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