2024年-2024年新课标高考数学（理科）试题分类精编。
第7部分-解三角形。
一、选择题。
1.（2024年天津理7）在△abc中，内角a、b、c的对边分别是a、b、c，若，sinc=2sinb，则a=
a）30° （b）60° （c）120° （d）150°
答案】a【解析】由sinc=2sinb结合正弦定理得：，所以由于余弦定理得：
所以a=30°，选a。
命题意图】本小题考查三角形中的正弦定理、余弦定理，特殊角的三角函数等基础知识，考查同学们的运算能力。
2.( 2024年湖南理6)在△abc中，角a，b，c所对的边长分别为a,b,c，若∠c=120°，,则（ ）
a、a>b b、a3.（2024年辽宁理5）设》0,函数y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后与原图像重合，则的最小值是。
a） (b) (c) (d)3
答案】c【解析】将y=sin(x+)+2的图像向右平移个单位后为，所以有=2k,即，又因为，所以k≥1,故≥，所以选c
4.( 2024年上海理18) 某人要制作一个三角形，要求它的三条高的长度分别为，则此人能
a）不能作出这样的三角形b）作出一个锐角三角形。
c）作出一个直角三角形d）作出一个钝角三角形。
答】（d）解析：设三边分别为a,b,c，利用面积相等可知。
由余弦定理得，所以角a为钝角。
5.(2024年广东理6) 一质点受到平面上的三个力（单位：牛顿）的作用而处于平衡状态．已知，成角，且，的大小分别为2和4，则的大小为
a. 6b. 2cd.
解析】，所以，选d.
6.(2024年海南理3)如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为。
a． b． c． d．
d解：设顶角为c，因为，由余弦定理。
7.(2024年山东理11)在直角中，是斜边上的高，则下列等式不成立的是。
a）（b）
c） （d）
答案】:c.【分析】：，a是正确的，同理b也正确，对于d答案可变形为，通过等积变换判断为正确。
二、填空题。
1． (2024年全国理16)在△abc中，d为边bc上一点，bd=dc， adb=120°，ad=2，若△adc的面积为，则bac=__
答案】 解析：设，则，由已知条件有。
再由余弦定理分别得到，再由余弦定理得，所以．
2．（2024年天津理15）如图，在中，，，则。
答案】解析】=
命题意图】本题主要考查平面向量、解三角形等基础知识，考查化归与转化的数学思想，有点难度。
3．（2024年北京理10）在△abc中，若b = 1，c =，则a
解析：，因此，故。
4．.(2024年广东理11)已知a,b,c分别是△abc的三个内角a,b,c所对的边，若a=1,b=, a+c=2b,则sinc= .
解析由a+c=2b及a+ b+ c=180°知，b =60°．由正弦定理知，即．由知，，则，，.
5．（2024年山东理15）在中，角所对的边分别为a，b，c，若，，，则角的大小为**：学科网][**：z。xx。
答案】【解析】由得，即，因为，所以，又因为，，所以在中，由正弦定理得：，解得，又，所以，所以。
命题意图】本题考查了三角恒等变换、已知三角函数值求解以及正弦定理，考查了同学们解决三角形问题的能力，属于中档题。
6.(2024年江苏13)满足条件的三角形的面积的最大值。
解析】本小题考查三角形面积公式、余弦定理以及函数思想．设bc＝，则ac＝，根据面积公式得=，根据余弦定理得。
代入上式得。
由三角形三边关系有。
解得，故当时取得最大值答案】
三、解答题。
1.( 2024年陕西理17)（本小题满分12分）
如图，a，b是海面上位于东西方向相距海里的两个观测点，现位于a点北偏东45°，b点北偏西60°的d点有一艘轮船发出求救信号，位于b点南偏西60°且与b点相距海里的c点的救援船立即即前往营救，其航行速度为30海里/小时，该救援船到达d点需要多长时间？
解： 由题意知ab=海里，dab=90°—60°=30°，∠dab=90°—45°=45°，∠adb=180°—（45°+30°）=105°，在△adb中，有正弦定理得。
2．(2024年福建理19)（本小题满分13分），轮船位于港口o北偏西且与该港口相距20海里的a处，并以30海里/小时的航行速度沿正东方向匀速行驶。假设该小船沿直线方向以海里/小时的航行速度匀速行驶，经过t小时与轮船相遇。
1）若希望相遇时小艇的航行距离最小，则小艇航行速度的大小应为多少？
2）假设小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，试设计航行方案（即确定航行方向与航行速度的大小），使得小艇能以最短时间与轮船相遇，并说明理由。
解析】如图，由（1）得。
而小艇的最高航行速度只能达到30海里/小时，故轮船与小艇不可能在a、c（包含c）的任意位置相遇，设，od=，由于从出发到相遇，轮船与小艇所需要的时间分别为和，所以，解得，从而值，且最小值为，于是。
当取得最小值，且最小值为。
此时，在中，，故可设计航行方案如下：
航行方向为北偏东，航行速度为30海里/小时，小艇能以最短时间与轮船相遇。
3.（2024年海南理17）（本小题满分12分）
为了测量两山顶m，n间的距离，飞机沿水平方向在a，b两点进行测量，a，b，m，n在同一个铅垂平面内（如示意图），飞机能够测量的数据有俯角和a，b间的距离，请设计一个方案，包括：①指出需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出）；②用文字和公式写出计算m，n间的距离的步骤。
解：方案一：①需要测量的数据有：a点到m，n点的俯角；b点到m，n的俯角；a，b的距离 d （如图所示） .
②第一步：计算am . 由正弦定理 ；
第二步：计算an . 由正弦定理 ；
第三步：计算mn. 由余弦定理。
方案二：①需要测量的数据有：
a点到m，n点的俯角，；b点到m，n点的府角，；a，b的距离 d （如图所示）.
②第一步：计算bm . 由正弦定理 ；
第二步：计算bn . 由正弦定理 ；
第三步：计算mn . 由余弦定理。
4.（2024年天津理17）（本小题满分12分）
在⊿abc中，bc=，ac=3，sinc=2sina
i) 求ab的值： (ii) 求sin的值
解析：本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角的正弦与余弦、两角差的正弦等基础知识，考查基本运算能力。满分12分。
ⅰ）解：在△abc中，根据正弦定理，于是ab=
ⅱ）解：在△abc中，根据余弦定理，得cosa=
于是 sina=从而sin2a=2sinacosa=,cos2a=cos2a-sin2a=
所以 sin(2a-)=sin2acos-cos2asin=
5.（2024年安徽理16）（本小题满分12分）
在abc中，, sinb=.
i）求sina的值； (ii)设ac=，求abc的面积。
本小题主要考查三角恒等变换、正弦定理、解三角形等有关知识，考查运算求解能力。本小题满分12分。
解：（ⅰ由，且，∴，又，∴
ⅱ）如图，由正弦定理得，又。
6.(2024年辽宁理 17 ) 本小题满分 12 分）
如图， a , b , c , d 都在同一个与水平面垂直的平面内， b , d 为两岛上的两座灯塔的塔顶．测量船于水面a处测得 b 点和 d 点的仰角分别为750 , 300 ，于水面c处测得b点和d点的仰角都为600，ac=．试**图中b，d间距离与另外哪两点距离相等，然后求b，d 的距离 （计算结果精确到）
解：在△acd中，
所以cd= ac=．
又∠bcd=故cb是△cad底边的中垂线，所以bd=ba。--5 分。
在△abc中，，因此，，故b，d 的距离为12 分。
7．（2024年浙江理18）（本题满分14分）
在中，角所对的边分别为，且满足，．
（i）求的面积； （ii）若，求的值．
解析：（i）因为，又由，得，
ii）对于，又，或，由余弦定理得，
8.(2024年上海理17)(13’)
如图，某住宅小区的平面图呈圆心角为120°
的扇形aob，小区的两个出入口设置在点a及点c
处，且小区里有一条平行于bo的小路cd，已知某。
人从c沿cd走到d用了10分钟，从d沿da走到a
用了6分钟，若此人步行的速度为每分钟50米，求该扇形的半径oa的长（精确到1米）
解析】[解法一] 设该扇形的半径为米，连接。 …2分。
由题意，得 (米)，（米）， 4分。
在△中， …6分。
即， …9分。
解得（米）答：该扇形的半径的长约为445米。 …13分。
解法二] 连接，作，交于2分。
由题意，得（米），米），…4分。
在△中，.米6分。
……9分。
在直角△中，（米），米）.
答：该扇形的半径的长约为445米。 …13分。
9.(2024年海南理17)（本小题满分12分）
如图，测量河对岸的塔高时，可以选与塔底在同一水平面内的两个测点与．现测得，并在点测得塔顶的仰角为，求塔高．
解：在中，．
由正弦定理得．
所以．在中，．
10．（2024年山东理20)（本小题满分12分）
如图，甲船以每小时海里的速度向正北方向航行，乙船按固定方向匀速直线航行，当甲船位于处时，乙船位于甲船的北偏西的方向处，此时两船相距20海里。当甲船航行20分钟到达处时，乙船航行到甲船的北偏西方向的处，此时两船相距海里，问乙船每小时航行多少海里？
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