2024年-2024年新课标高考数学（理科）试题分类精编。
第4部分-导数。
一、选择题。
1.(2024年全国理3)曲线在点（-1，-1）处的切线方程为。
a）y=2x+1b)y=2x-1 c y=-2x-3
答案】a 解析：，所以，故切线方程为．
另解：将点代入可排除b、d，而，由反比例函数的图像，再根据图像平移得在点处的切线斜率为正，排除c，从而得a．
2.( 2024年辽宁理1o)已知点p在曲线y=上，a为曲线在点p处的切线的倾斜角，则a的取值范围是。
(a)[0,) b) (d)
答案】d3.（2024年天津理4）设函数则。
a在区间内均有零点。
b在区间内均无零点。
c在区间内有零点，在区间内无零点。
d在区间内无零点，在区间内有零点。
考点定位】本小考查导数的应用，基础题。
解析：由题得，令得；令得；得，故知函数在区间上为减函数，在区间为增函数，在点处有极小值；又，故选择d。
4.（2024年安徽理9）已知函数在r上满足，则曲线在点处的切线方程是。
a） （b） （c） （d）高。考。资。源。网。
解析]：由得，即，∴∴切线方程为。
即选a5.(2024年辽宁理7)曲线在点处的切线方程为。
d 解析：，切线方程为，即。
6.(2024年广东理7)设，若函数，有大于零的极值点，则（ ）
a． b． c． d．
解析】，若函数在上有大于零的极值点，即有正根。当有成立时，显然有，此时，由我们马上就能得到参数的范围为。 b
7.(2024年海南理10)曲线在点处的切线与坐标轴所围三角形的面积为（ ）
答案】：d【分析】：曲线在点处的切线斜率为，因此切线方程为则切线与坐标轴交点为。
所以： 二、填空题。
1．(2024年江苏8)函数y=x2(x>0)的图像在点(ak,ak2)处的切线与x轴交点的横坐标为ak+1,k为正整数，a1=16，则a1+a3+a5
答案】21[解析]考查函数的切线方程、数列的通项。 在点(ak,ak2)处的切线方程为：当时，解得，所以。
2.(2024年陕西理16)设曲线在点（1，1）处的切线与x轴的交点的横坐标为，令，则的值为。
答案：-23.(2024年江苏3)函数的单调减区间为 .
[解析] 考查利用导数判断函数的单调性。，由得单调减区间为。亦可填写闭区间或半开半闭区间。
4.(2024年江苏9)在平面直角坐标系中，点p在曲线上，且在第二象限内，已知曲线c在点p处的切线的斜率为2，则点p的坐标为 .
解析] 考查导数的几何意义和计算能力。
又点p在第二象限内，点p的坐标为（-2，15）
5.(2024年福建理14)若曲线存在垂直于轴的切线，则实数取值范围是。
答案】：解析：由题意可知，又因为存在垂直于轴的切线，所以。
6.(2024年江苏8)设直线是曲线的一条切线，则实数的值是。
解析】本小题考查导数的几何意义、切线的求法． ，令得，故切点（2，ln2），代入直线方程，得，所以b＝ln2－1．
7.(2024年江苏14)设函数，若对于任意的都有成立，则实数的值为。
解析】本小题考查函数单调性的综合运用．若x＝0，则不论取何值，≥0显然成立；当x＞0 即时，≥0可化为，
设，则， 所以在区间上单调递增，在区间上单调递减，因此，从而≥4；
当x＜0 即时，≥0可化为，
在区间上单调递增，因此，从而≤4，综上＝4
三、解答题。
1.（2024年陕西卷理21）（本小题满分14分）
已知函数f（x）=，g（x）=alnx，ar。
(1)若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交，且在交点处有相同的切线，求a的值及该切线的方程；
2)设函数h(x)=f(x)- g(x),当h(x)存在最小之时，求其最小值（a）的解析式；
3)(理)对（2）中的（a）和任意的a>0，b>0，证明：
文) 对（2）中的（a），证明：当a（0，+）时，（a）1.
解 （1）f’(x)= g’(x)= x>0),由已知得 =alnx，， 解德a=,x=e2,两条曲线交点的坐标为（e2,e）
切线的斜率为k=f’(e2)=,切线的方程为y-e= (x- e2).
1） 当a.>0时，令h (x)=0,解得x=,所以当0 < x《时 h (x)<0，h(x)在（0，）上递减；
当x>时，h (x)>0，h(x)在（0，）上递增。
所以x>是h(x)在（0， +上的唯一极致点，且是极小值点，从而也是h(x)的最小值点。所以φ（a）=h()=2a-aln=2
2）当a≤0时，h(x)=(1/2-2a) /2x>0,h(x)在（0，+∞递增，无最小值。
故 h(x) 的最小值φ（a）的解析式为2a(1-ln2a) (a>o)
文）由（2）知φ（a）=2a(1-ln2a)
则 φ1（a ）=2ln2a，令φ1（a ）=0 解得 a =1/2
当 00，所以φ（a ） 在(0,1/2) 上递增。
当 a>1/2 时， φ1（a ）<0，所以φ（a ） 在 (1/2, +上递减。
所以φ（a ）在(0, +处取得极大值φ（1/2 ）=1
因为φ（a ）在(0, +上有且只有一个极致点，所以φ（1/2）=1也是φ（a）的最大值。
所当a属于 (0, +时，总有φ（a）≤1
2．（2024年全国理21）（本小题满分12分）
设函数。1)若，求的单调区间；
2)若当时，求的取值范围。
解：（1）时，，.
当时，；当时，.故在单调减少，在单调增加。
ii）由（i）知，当且仅当时等号成立。故。
从而当，即时，，而，于是当时，.由可得。从而当时，故当时，，而，于是当时，.
综合得的取值范围为。
3．(2024年安徽理17)（本小题满分12分）
设为实数，函数。
ⅰ)求的单调区间与极值；
ⅱ)求证：当且时，。
4．（2024年天津理21）（本小题满分14分）
已知函数f(x)=xe-x（xr）.
ⅰ) 求函数f(x)的单调区间和极值；
ⅱ)已知函数y=g(x)的图象与函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，证明当x>1时，f(x)>g(x)
(ⅲ)如果且证明。
命题意图】本小题主要考查导数的应用，利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及用函数思想分析解决问题的能力。
解析】（ⅰ解：f’令f’(x)=0,解得x=1
当x变化时，f’(x)，f(x)的变化情况如下表。
所以f(x)在()内是增函数，在()内是减函数。
函数f(x)在x=1处取得极大值f(1)且f(1)=
ⅱ）证明：由题意可知g(x)=f(2-x),得g(x)=(2-x)
令f(x)=f(x)-g(x),即于是。
当x>1时，2x-2>0,从而’(x)>0,从而函数f（x）在[1,+∞是增函数。又f(1)= f(x)>f(1)=0,即f(x)>g(x).
)证明：（1）若。
2）若。根据（1）（2）得。
由（ⅱ）可知， >则=，所以》,从而》.因为，所以，又由（ⅰ）可知函数f(x)在区间（-∞1）内事增函数，所以》,即》2.
5．(2024年北京理18)(本小题共13分)
已知函数。ⅰ)当=2时，求曲线=()在点(1，)处的切线方程；
ⅱ)求()的单调区间。
解：（i）当时，
由于所以曲线处的切线方程为。
即。ii）当时，因此在区间上，；在区间上，；
所以的单调递增区间为，单调递减区间为；
当时，，得；
因此，在区间和上，；在区间上，；
即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；
当时，.的递增区间为。
当时，由，得；
因此，在区间和上，，在区间上，；
即函数的单调递增区间为和，单调递减区间为。
6．(2024年福建理20)（本小题满分14分）
ⅰ）已知函数，。
i）求函数的单调区间；
ii）证明：若对于任意非零实数，曲线c与其在点处的切线交于另一点。
曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段。
ⅱ）对于一般的三次函数（ⅰ）ii）的正确命题，并予以证明。
命题意图】本小题主要考查函数、导数、定积分等基础知识，考查抽象概括能力、运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、特殊与一般思想。
解析】（ⅰi）由得=，当和时，；
当时，因此，的单调递增区间为和，单调递减区间为。
ii）曲线c与其在点处的切线方程为。
得，即，解得，进而有。
用代替，重复上述计算过程，可得。
和，又，所以因此有。
ⅱ）记函数的图象为曲线，类似于（ⅰ）ii）的正确命题为：若对任意不等式的实数，曲线与其在点处的切线交于另一点。
曲线c与其在点处的切线交于另一点，线段。
证明如下：因为平移变换不改变面积的大小，故可将曲线的对称中心平移至坐标原点，因而不妨设，类似（i）（ii）的计算可得，故。
7．(2024年湖南20)（本小题满分13分）
已知函数对任意的，恒有。
ⅰ）证明：当时，；
ⅱ）若对满足题设条件的任意b，c，不等式恒成立，求m的最小值。
8．(2024年山东理22)(本小题满分14分)
已知函数。ⅰ)当时，讨论的单调性；
ⅱ）设当时，若对任意，存在，使。
求实数取值范围。
解析】(ⅰ原函数的定义域为（0，+，因为=，所以当时，，令得，所以。
此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；
当时， ，所以。
此时函数在（0，+是减函数；
当时，令=得，解得（舍去），此时函数在（1，+上是增函数；在（0，1）上是减函数；
当时，令=得，解得，此时函数。
在（1，上是增函数；在（0，1）和+上是减函数；
当时，令=得，解得，此时函数。
在1）上是增函数；在（0，）和+上是减函数；
当时，由于，令=得，可解得0，此时函数在（0，1）上是增函数；在（1，+上是减函数。
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