2024年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷）文科数学试题答案与解析。
1.解析因为，，所以。故选c.
2.解析在上为减函数；是定义域为的增函数；的定义域为；在上不单调，故选b.
3.解析由知，所以。故选a.
4.解析执行程序框图：当时，，当时，，当时，，当时，循环结束，输出，故选c.
5.解析不能推出，例如，；也不能推出，例如，.故“”是“”的既不充分也不必要条件。
6.解析因为，，，所以包含零点的区间是，故选c.
7.解析若，则点的轨迹是以为直径的圆，其方程为。由题意知圆与圆有公共点，所以，易知，所以，故的最大值为6.选b.
8.解析由已知得，解得，所以，所以当时最大，即最佳加工时间为分钟。故选b.
评注本题主要考查二次函数及配方法求最值，考查学生的计算能力，利用待定系数法求出，，是解题关键。
9.解析由，得。
10.解析由双曲线的焦点坐标知，且焦点在轴上，由顶点坐标知，由得。所以双曲线的方程为。
评注本题考查双曲线的标准方程、几何性质，考查学生的运算求解能力。
11.解析由三视图可知该几何体的直观图如图所示，其中面，为等腰直角三角形，且，，，所以，故该三棱锥最长棱的棱长为。
12.解析由余弦定理知，故；由，，知，由知。
13.解析约束条件，表示的平面区域如图中阴影部分，作出基本直线，经平移可得在点处取得最小值，其最小值为1.
14.解析工序流程图如图所示：
则最短交货期为个工作日。
15.解析（）设等差数列的公差为，由题意得。所以。设等比数列的公比为，由题意得，解得。所以。从而。
）由（）知。数列的前项和为，数列的前项和为。所以数列的前项和为。
评注本题主要考查等差数列与等比数列通项同时及前项和公式，考查数列综合应用。属基础题。
16. 解析（）的最小正周期为。
）因为，所以。于是，当，即时，取得最大值；当，即时，取得最小值。
评注本题主要考查函数的图像和性质，熟练掌握三角函数的图像是解题的关键，属基础题。
17. 解析（）证明：在三棱柱中，底面。所以。又因为，所以平面。所以平面平面。
）证明：取中点，连接，.因为，分别是，的中点，所以，且。因为，且，所以，且。所以四边形为平行四边形。所以。又因为平面，平面，所以平面。
）因为，，，所以。所以三棱锥的体积。
评注本题考查直线与平面、平面与平面的位置关系及其判定定理与性质定理的应用，考查空间几何体的体积的计算，考查虚数的空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力。判定线面平行的关键是构造线线平行或面面平行。
18. 解析（）根据频数分布表值，名学生中一周课外阅读时间不少于小时的学生共有名，所以样本中的学生一周课外阅读时间少于小时的频率是。故从该校随机选取一名学生，估计其该周课外阅读时间少于小时的概率为。
）课外阅读时间落在组内的有人，频率为，所以。课外阅读时间落组内的有人，频率为，所以。
）样本中的名学生该周课外阅读时间的平均数在第4组。
19.解析（1）由题意知，椭圆的标准方程为。所以，从而。因此，.故椭圆的离心率。
2）直线与圆相切。证明如下：设点的坐标分别为，，其中。因为，所以，即，解得。
当时，，代入椭圆的方程，得，故直线的方程为。圆心到直线的距离。此时直线与圆相切。当时，直线。
的方程为，即。圆心到直线。
的距离。又，故。此时直线与圆相切。
评注本题考查了椭圆相关知识，直线与圆的位置关系，坐标法等知识；考查数形结合、推理论证能力。
20. 解析（）由得。令，得或。因为，，，所以在区间上的最大值为。
）设过点的直线与曲线相切于点，则，且切线斜率为，所以切线方程为。因此。整理得。设，则“过点存在3条直线与曲线相切”等价于“有3个不同零点”.
与的变化情况如下表：
所以，是的极大值，是的极小值。
当，即，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点。
当，即时，此时在区间和上分别至多有1个零点，所以至多有2个零点。
当且，即时，因为，，所以分别在区间，和上恰有1个零点。由于在区间和上单调，所以分别在区间和上恰有1个零点。
综上可知，当过点存在3条直线与曲线相切时，的取值范围是。
）过点存在3条直线与曲线相切；过点存在2条直线与曲线相切；过点存在1条直线与曲线相切。
评注本题主要考查导数的几何意义、导数的应用及函数方程问题，考查学生运用导数研究函数性质的能力，考查了函数与方程，等价转化等思想方法。
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