（3月16日上午9∶00～11∶00）
1）若，则的值等于（ ）
（ab） cd）
2）甲、乙两人同时从a地出发沿同一条路线去b地，若甲用一半的时间以每小时。
a千米的速度行走，另一半时间以每小时b千米的速度行走；而乙用每小时a千米的速度走了一半的路程，另一半的路程以每小时b千米的速度行走（a，b均大于0且）．则（ ）
a）甲先到达b地b）乙先到达b地
c）甲乙同时到达b地 （d）甲乙谁先到达b地不确定。
3）如图，已知□abcd中，e、f分别为边ab、ad上的点，ef与对角线ac交于点p．若，（a、b、m、n均为正数），则的值为（ ）
ab） c） （d）
4）如图，在△abc中，已知，若于点d，且，，则△abc的面积为（ ）
ab）5cd）15
5）一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，否则，不算过关．现有下列说法：
过第一关是必然事件；
过第二关的概率为；
可以过第四关；
过第五关的概率大于0.
其中，正确说法的个数为（ ）
a）4个b）3个 （c）2个d）1个
6）若关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为。
7）如图，在△abc中，已知，若，则的大小为度）.
8）如图，有五个圆顺次相外切，且又都与。
直线a、b相切，如果其中最小圆与最。
大圆的直径分别为18和32，那么⊙
的直径为。9）已知四个实数，且．若四个关系式：，，同时成立，则的值等于。
10）已知都是正整数，若，且能被21整除，则满足条件的数对共有。
个。三、解答题（本大题共3小题，每小题满分20分，共60分）
11、已知为实数，且，若的最大值是，最小值是，求的值．
12、如图，在△中，已知，，分别为边上的点，若，求的大小．
13、已知个正整数满足，求这个正整数乘积。
的最大值．2023年全国初中数学竞赛天津赛区初赛试题。
参***及评分标准。
一、选择题（本大题共5小题，每小题6分，满分30分）
1）若，则的值等于（ d ）．
（a） （b） （c） （d）
解】∵，即，．，
2）甲、乙两人同时从a地出发沿同一条路线去b地，若甲用一半的时间以每小时。
a千米的速度行走，另一半时间以每小时b千米的速度行走；而乙用每小时a千米的速度走了一半的路程，另一半的路程以每小时b千米的速度行走（a，b均大于0且）．则（ a ）．
a）甲先到达b地b）乙先到达b地
c）甲乙同时到达b地 （d）甲乙谁先到达b地不确定。
解】由已知，设a、b两地相距s千米，则甲走完全程所用的时间为，乙走完全程所用的时间为．
甲所用的时间少，甲先到达b地．
3）如图，已知□abcd中，e、f分别为边ab、ad上的点，ef与对角线ac交于点p．若，（a、b、m、n均为正数），则的值为（ c ）．
ab） c） （d）
解】延长fe、cb交于点g.
∵□abcd中，△aef∽△beg，有，即。
afp∽△cgp，有。
. 由，得。
4）如图，在△abc中，已知，若于点d，且， ，则△abc的面积为（ d ）．
ab） 5cd）15
解】如图，过点c作于点e，则△bce∽△bad，∴.
若设，则由，在rt△abd中，在rt△acd中，.
又∵在rt△ace中，由，得，∴.
而，∴，即。
解得或(负值舍去). 当时， 得为钝角，舍去，∴.
s△abc.
5）一项“过关游戏”规定：在第n关要掷一颗骰子n次，如果这n次抛掷所出现的点数之和大于，则算过关，否则，不算过关。 现有下列说法：
过第一关是必然事件；
过第二关的概率为；
可以过第四关；
过第五关的概率大于0.
其中，正确说法的个数为（ b ）．
a）4个b）3个 （c）2个d）1个
解】要过第一关，点数需大于，显然，抛掷一颗骰子一次至少有1点，故①对；
要过第二关，点数之和需大于，即点数之和至少是3．而抛掷两次的点数之和至少为2，因此，不能过第二关的只有一种可能：就是两次抛掷的点数均为1，即两次抛掷的36种可能结果中，有35种结果可以过第二关。所以，过第二关的概率为，故②对；
要过第四关，点数之和需大于，若每次抛出的点数均为6，则点数之和，所以第四关是可以通过的，故③对；
要过第五关，点数之和需大于，显然是不可能的，所以，过第5关是不可能事件，概率为0，说法④错．
综上①②③正确。
二、填空题(本大题共5小题，每小题6分，满分30分．)
6）若关于x的函数的图象与坐标轴有两个交点，则a的值为 3，0或 .
解】当，即时，原函数变为，其图象与坐标轴有两个交点。
当，即时，原函数为二次函数，其图象与y轴一定有一个交点，若此交点不是原点，由已知，其图象与x轴只能有一个交点，所以，解得；
若此交点是原点，则，此时函数为，其图象必与x轴有两个不同的交点。
综上可知a的值为3，0或。
7）如图，在△abc中，已知，，若，则的大小为 40°（度）.
解】如图，将△abd沿ad所在直线对折，使点b落在点e位置，得△aed，ae与cd交于点o.
△aed≌△abd，∴，
由为△abd的一个外角，得。
在△ade中，.,有。
又∵ae为ab沿ad对折得到，有，已知，∴.
.即。∴.在△abc中，.
8）如图，有五个圆顺次相外切，且又都与直线a、b相切，如果其中最小圆与最。
大圆的直径分别为18和32，那么⊙的直径为 24 .
解】如图，设五个圆⊙，⊙的半径分别为，，，过点、、作直线a的垂线，垂足分别为，，.
连接，显然圆心在上，作于点，于点，则△∽△即，可得。
同理，，.设，有， ,
的直径为24.
9）已知四个实数，且．若四个关系式：，，同时成立，则的值等于 0 .
解】由，得，．
因为，所以，．可得．
又，得，．当时，得．解得．
当时，得．解得．
所以，．10）已知都是正整数，若，且能被21整除，则满足条件的数对共有多少 57 个．
解】因为正整数满足能被21整除，且，
若，则．满足条件的数对有10个．
若，当时，．满足条件的数对有20个．
当时，因为，如果，其中都是正整数，且，得．
时，；时，；
时，．满足条件的数对有个．
如果，其中都是正整数，且，得．
4时，的值均为1；
6，8，9时，的值均为1，2；
时，的值为1，2，4．
满足条件的数对有个．
综上，满足条件的数对共有个．
三、解答题（本大题共3小题，每小题满分20分，共60分）
11）已知为实数，且，若的最大值是，最小值是，求的值．
解】设，则由得5分。
于是，而≥，有≥，所以≤910分。
这样，实数可以看作是一元二次方程的两个根． …15分。
判别式≥0，所以≥， 有1≤≤．
所以的最大值是，最小值20分。
12）如图，在△中，已知，，分别为边上的点，若，求的大小．
解】如图，过点作∥，交于点，连接与交于点，则。
在△中，．有．
△、△均为正三角形5分。
在△中，由，得．
．有．10分。
过点作∥，交于点，则△∽△有．
＋②，得。又∵在△中，由，得．
而由，可得． ④
比较③、④可得15分。
综上，有△≌△得．
为△的一个外角，．
20分。13）已知个正整数满足，求这个正整数乘积的最大值．
解】 设的最大值为，由于，显然中的每一个均大于1，．
若其中有≥4，可将分成和2两个数，考察它们的乘积，有≥，这样所有大于或等于4的正整数分成和2两个数后，其和不变，但使得乘积变大5分。
于是，在最大值中不可能出现大于或等于4的正整数，
故或，这就是说m可以写成的形式10分。
又因为， 但，即在乘积中用2个3替代3个2可使乘积增大，所以15分。
又，所以20分。
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