安徽省浮山中学高中数学竞赛集训卷一。
命题人吴约中。
1、选择题 （本大题满分36分，每小题6分）
1.设集合，若，则中元素个数为(c)
012至少3个。
2.三个互不重合的平面，能把空间分成部分，则的所有可能的值是(d)
3.若三角形的三条高线长分别为12,15,20,则此三角形的形状为(b)
锐角三角形 .直角三角形 .钝角三角形 .形状不确定。
4.(高二)四棱锥的底面是单位正方形(按反时针方向排列),侧棱垂直于底面，且＝,记，则＝(c)
5.设，且，则的最小值是(c)
二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）
7.甲、乙两人进行乒乓球单打决赛，采用五局三胜制(即先胜三局者获冠军),对于每局比赛，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，则爆出冷门(乙获冠军)的概率为。
8.等腰直角三角形的直角顶点对应的向量为，重心对应的向量为，则三角形另二个顶点、对应的向量为。
9.函数，的最小值是。
10.数列的各项为正数，其前n项和满足，则=__
三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
13.(20分)将等差数列{}:中所有能被3或5整除的数删去后，剩下的数自小到大排成一个数列{},求的值。
解：由于，故若是3或5的倍数，当且仅当是3或5的倍数。
现将数轴正向分成一系列长为60的区间段：(0,+)0,60]∪(60,120]∪(120,180]∪…注意第一个区间段中含有{}的项15个，即3,7,11,15,19,23,27,31,35,39,43,47,51,55,59.其中属于{}的项8个，为于是每个区间段中恰有15个{}的项，8个{}的项，且有，k∈n,1≤r≤8.
由于2006＝8×250+6,而，所以。
安徽省浮山中学2008-2009学年度高中数学竞赛集训卷一。
参***。说明：1．评阅试卷时，请依据本评分标准．选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分．
2．如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时请参照本评分标准适当档次评分．
一、选择题 （本大题满分36分，每小题6分）
1.设非常值函数是一个偶函数，它的函数图像关于直线对称，则该函数是 （ c ）
a. 非周期函数 b.周期为的周期函数
c. 周期为的周期函数 d. 周期为的周期函数。
解：因为偶函数关于ｙ轴对称，而函数图像关于直线对称，则。
即。故该函数是周期为的周期函数。
应选 ｃ。2.球面上有3个点，其中任意两点的球面距离都等于大圆周长的，经过这3个点的小圆面积为4π，那么这个球的半径为( b )
a)4 (b)2 (c)2 (d)
3．若不等式对所有正实数、都成立，则的最小值是（ c ）
a． 2 b． c． d． 4
4．在边长为1的正方体c内，作一个内切大球o1，再在c内的一个角顶内，作小球o2，使它与大球外切，同时与正正方体的三个面相切．则球o2的面积为（ a ）
a． b． c． d．
5. 如果，则使的的取值范围为（ b ）
a. b. c. d.
解：显然，且。
要使。当时，，即；当时，，此时无解。
由此可得， 使的的取值范围为。 应选 ｂ
二、填空题 （本题满分54分，每小题9分）
6. 设为的单调递增数列，且满足，则 。
解： （由题意可知取正号。）
因此，公差为２的等差数列，即。从而可得。 答案为。
7. 已知平面上不共线的四点o,a,b,c。若，则 。
解：因为，所以。于是有 。因此。
答案为：２。
8. 已知数列，，前ｎ项部分和满足，则 。
解： 于是 ，（
答案为： 。
9.方程的解集为 。
解： 当时，，（取到等号）。
而，（取到等号）。于是有当时，方程只有一个解。由于奇函数的性质，可知是方程的另一解。故方程的解集为。
10.设为方程的根（），则 。
解： 由题意，。由此可得，以及 。
答案为：。11..均为非负实数，则。
的最小值为。
解：在直角坐标系中，作点，，，则。
＝＋＋应用三角不等式）
如果取，即，那么ｉ取到最小值2010。
答案为 2007。
12. 整数，且，则分别为 。
解：方程两边同乘以８，得。 因为，所以要使左边为奇数，只有，即。则。要使左边为奇数，只有，即。从而有 ，即。故有。 答案为 。
三、解答题（本题满分60分，每小题20分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。）
13．（本小题满分18分）
设x，y，z为正实数，求函数。
的最小值。14． 解：在取定y的情况下，……4分)
其中等号当且仅当时成立8分)
同样，……12分)
其中等号当且仅当z=时成立．所以。
其中第二个不等式中等号当且仅当y=号时成立．……16分)
故当x=，y=，z=等时，f(x，y，z)取得最小值194+112．(18分)
14. 设，，求的最大值。解：5分。
10分。15分。
当时，上式可以取到等号。故函数的最大值是。
………20分。
15.设，求证：。
证明：因为，所以有。又，故有。
………10分。
………20分。
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