2023年高考题型训练一。
1.过抛物线的焦点f的直线交该抛物线于a,b两点，o为坐标原点。若，则的面积为( )
a. b. c. d.
2.函数是r上的增函数且，其中是锐角，并且使得函数在上单调递减，则的取值范围是( )
ab. cd.
3.如图，任取一点c,bc中点为d,则的最小值为。
4.已知实数x、y满足，若不等式恒成立，则实数a的最小值为 .
5.已知，则。
6.已知， ,若同时满足条件：,;或。
则的取值范围是。
7.如图，已知a、b为椭圆的左右顶点，f为椭圆的右焦点，p是椭圆上异于a、b的任意一点，且，直线ap、bp分别交直线于m、n两点，交轴于c点。
1)若轴，求点p的坐标；
2)是否存在实数，使得以为直径的圆恒过点f？若存在，求出实数的值；若不存在，请说明理由。
8.已知函数(是常数).
1)若，求函数在上的最值；
2)如果函数的图象与轴交于两点、,且。是的导函数，若正常数满足，.求证：.
参***。3.【参***】-2
解题思路】设， ,则， ,4.【参***】１.
解题思路】作出实数x、y满足的可行域，如图： ,由于，由图知，2k-4≤0,所以，故实数a的最小值为１.
5.【参***】80.
解题思路】设，则， ,6.【参***】的范围是。
解题思路】由题意得，作出函数图象如下。若，显然不符合题意。若，则有唯一零点，在上恒正，不符合条件①.
若，则有另一个零点。结合图像的分析可知符合题意的可能情况比较多，故从反面考虑。
由题意得③
若在和上各有一个零点，则；
只有这种情况不符合题意，再结合③式可知符合题意的的范围是 .
7.【解题思路】(1)由题意得，椭圆方程为，.若轴，代入椭圆方程得，则
2)假设存在符合题意的实数。设点， ,则，由(1)知， ,
直线的方程为：,令，则。
同理，直线的方程为：,令，则。
若以为直径的圆恒过点f,则恒成立。
解得：,所以，当时以为直径的圆恒过点f.
8.【解题思路】(1)若， ,在上单调递增，在上单调递减。
, 且知，所以时在上的最大值为，最小值为。
(2),又有两个零点。则，两式相减得：
所以要证，需证：,即证：,设， ,只需证在上恒成立。
由可知， ,所以，在上是增函数。
从而，故原不等式成立。
2023年高考题型训练二。
1.设函数的定义域为，若存在非零实数满足，均有，且。
f(x+m)≥f(x),则称为上的高调函数。如果定义域为的函数是奇函数，当x≥0
时，且为上的高调函数，那么实数的取值范围是。
a. b. c. d.
2.两千多年前，古希腊毕达哥拉斯学派的数学家曾经在沙滩上研究数学问题，他们在沙滩。
上画点或用小石子来表示数，按照点或小石子能排列的形状对数进行分类，如图中的实心点。
个数1,5,12,22,…,被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数。
记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，……若按此规。
律继续下去，若，则10
3.如图，已知椭圆：的离心率为，以椭圆的左顶点为圆心作圆：,设圆与椭圆交于点与点。
1)求椭圆的方程；
2)求的最小值，并求此时圆的方程；
(3)设点是椭圆上异于，的任意一点，且直线分别与轴交于点，为。
坐标原点，求证：为定值。
4.已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前项和，且满足。
.数列满足，为数列的前n项和。
1)求数列的通项公式和数列的前n项和；
2)若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
3)是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有的值；若不存在，请说明理由。
5.设函数(为自然对数的底数),
1)证明： ;
2)当时，比较与的大小，并说明理由；
3)证明： (
参***。3.解：(1)依题意，得， ,故椭圆的方程为。 (2)方法一：点与点关于轴对称，设， ,不妨设。由于点在椭圆上，所以。
由已知，则， ,由于，故当时，取得最小值为。
由(*)式， ,故，又点在圆上，代入圆的方程得到。
故圆的方程为：.
方法二：点与点关于轴对称，故设，不妨设，由已知，则 .
故当时，取得最小值为，此时，又点在圆上，代入圆的方程得到。 故圆的方程为：.
(3) 方法一：设，则直线的方程为：,令，得， 同理：,故 (*又点与点在椭圆上，故， ,代入(**式，得：
所以为定值。
方法二：设，不妨设， ,其中。则直线的方程为：,令，得，同理：,故。
所以为定值。
4.解：(1)(法一)在中，令， ,得即解得， ,又时，满足， ,
法二) 是等差数列， ,
由，得，又， ,则。
求法同法一)
2)①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式。
恒成立。 ,等号在时取得。
此时需满足。
当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立。是随的增大而增大，时取得最小值。此时需满足。综合①、②可得的取值范围是。
3), 若成等比数列，则，即。 由，可得，即，.又，且，所以，此时，因此，当且仅当，时，数列中的成等比数列。
另解：因为，故，即，(以下同上).
5.解：(1)证明：设，所以，当。
时， ,当时， ,当时，.即函数在上单调。
递减，在上单调递增，在处取得唯一极小值，因为，所以对任意实数均。
有。即，所以，2)解：当时， .用数学归纳法证明如下：
当时，由(1)知。
假设当()时，对任意均有，令， ,因为对任意的正实数，
由归纳假设知，.即在上为增函数，亦即，因为，所以。从而对任意，有。即对任意，有。这就是说，当时，对任意，也有。由、知，当时，都有。
3)证明1:先证对任意正整数，.由(2)知，当时，对任意正整数，都有。令，得。所以。再证对任意正整数，要证明上式，只需证明对任意正整数，不等式成立。
即要证明对任意正整数，不等式(*)成立，以下分别用数学归纳法和基本不等式法证明不等式(*)
方法1(数学归纳法):
当时，成立，所以不等式(*)成立。
假设当()时，不等式(*)成立，即。
则。因为，所以。 这说明当时，不等式(*)也成立。
由、知，对任意正整数，不等式(*)都成立。综上可知，对任意正整数，不等式成立。
方法2(基本不等式法):因为， ,将以上个不等式相乘，得。所以对任意正整数，不等式(*)都成立。
综上可知，对任意正整数，不等式成立。
2023年高考题型训练
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2023年高考题型 数学
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