f(995)=f[f(1000)]=f(997)=998;f(994)=f[f(999)]=f(998)=997.
归纳猜想：当n<1000时，f(n)=
用数学归纳法可以证明，这里省略。所以f(2)=997,f(31)=998.
二， 数形结合法。
如果能联想出一个代数问题的几何背景时，就能使问题直现明了，顿悟出方法，思路跃然纸上。
例3 （2023年上海第11题）若曲线＝||1与直线＝＋没有公共点，则、分别应满足的条件是。
分析：作出函数的图象，如右图所示：
所以，；例4
分析：这是关于两个变量的函数最值问题，人手困难，比较渺茫。根据条件的形式，进行理想，可以发现它是一个距离的平方，所以从距离的研究人手！
我们把看成与两点间距离的平方p点在上，q点在，明显，当p(1,1),q(3,3)时，取得最小值8。
本题通过广泛联想，深刻分析，发现了问题的本质，激发了内在的美感，启迪了思维。不仅获得了美妙的解法，还熏陶了审美情趣。
三， 借鸡生蛋法。
数学问题的编拟是一项创造性的劳动，但并不是无中生有，常常有其源头。我们应该展开发散思维的翅膀，当联想到相关问题的性质时，这个难题会不攻自破。
例5 （上海部分学校联考题）已知关于x的方程有奇数个解，则实数a=＿
分析：直接去绝对值就变成两个超越方程， 没有办法了。深度分析后发现是偶函数。
所以，如果原方程有非零解必然成对出现，这样x=0是原方程的一个解。将x=0代入并检验得a=±12.
例6 已知是非零常数，且，问是否为周期函数？若是，求出周期，若不是，请说明理由。
分析：由于探求的是周期函数问题，而的结构极易与进行类比，故可把看作的一个原型实例，且题中相当于实例中的，由于的周期是，故可猜想是周期函数，周期为。
事实上， ，是以为周期的函数。
四， 合情推理法。
求解一个数学问题时，若逻辑推理有困难，可以根据已知条件得到某些合乎情理的、有利于解题的结论，特别对某些能力型客观题，合情推理法可一举击中要害。
例7 在中，已知：，问这是个什么样的三角形？并说明理由。
分析：由于条件中a、b、c的地位相同，则在结论中的地位也应相同，由此可猜想为正三角形，从而确定了解题方向。为了证明为正三角形，就要证，也就是要证明，由公式。
知，只要证明。
由及即知上面句等显然成立，故为等边三角形可证。
例8 已知，sin=,cos= (则=(
abcd)5
分析：此题如看成普通的求解题，可以预见运算量不小，恐怕很难心算而得到结果，然而将“题目与四选项相结合”，合情推理，粗略估算，立即获得答案，让人赏心悦目。
解：因为sin+ cos =1,所以m为定值，这样只有在(c)或者(d)中选择，又因为，所以，因此选择(c)。
五， 等价转化法。
不少数学问题，看到题目的第一感觉无从入手，当你把它等价转化成一个新问题时，就会别有洞天，轻而易举。
例9 （2023年上海第12题）三个同学对问题“关于的不等式＋25＋|－5|≥在[1，12]上恒成立，求实数的取值范围”提出各自的解题思路．
甲说：“只须不等式左边的最小值不小于右边的最大值”．
乙说：“把不等式变形为左边含变量的函数，右边仅含常数，求函数的最值”．
丙说：“把不等式两边看成关于的函数，作出函数图像”．
参考上述解题思路，你认为他们所讨论的问题的正确结论，即的取值范围是。
分析：由＋25＋|－5|≥，而，等号当且仅当时成立；
且，等号当且仅当时成立；问题实现了转化。
所以，，等号当且仅当时成立；故；
例10 已知三个方程x+mx-m=0,x+2mx-3m=0,x+(m-1)x+m=0,至少有一个方程有实数根，求m的取值范围。
分析：如果从正面入手，会遇到多种情况，理应从反面入手，因为题目的反面只有一种情形，明显简单得多。
解：设三个方程都没有实数根。则。
解得-3因此，当m-1或m-3时，三个方程至少有一个有实数根。
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