（全国卷二理）
已知函数．1）求曲线在点处的切线方程；
2）设，如果过点可作曲线的三条切线，证明：
解：（1）的导数．曲线在点处的切线方程为：，即．2）如果有一条切线过点，则存在，使．
若过点可作曲线的三条切线，则方程有三个相异的实数根．记，则．当变化时，变化情况如下表：
由的单调性，当极大值或极小值时，方程最多有一个实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根；
当时，解方程得，即方程只有两个相异的实数根．综上，如果过可作曲线三条切线，即有三个相异的实数根，则即 ．全国卷一理）
设函数．ⅰ）证明：的导数；
ⅱ）若对所有都有，求的取值范围．
解：（ⅰ的导数．由于，故．
当且仅当时，等号成立）．
ⅱ）令，则，ⅰ）若，当时，故在上为增函数，所以，时，，即．ⅱ）若，方程的正根为，此时，若，则，故在该区间为减函数．所以，时，，即，与题设相矛盾．
综上，满足条件的的取值范围是．
设函数。）若当时，取得极值，求的值，并讨论的单调性；
）若存在极值，求的取值范围，并证明所有极值之和大于．1.（全国一19）．（本小题满分12分）
注意：在试题卷上作答无效）
已知函数，．
ⅰ）讨论函数的单调区间；
ⅱ）设函数在区间内是减函数，求的取值范围．解：（1）求导：
当时，，，在上递增。
当，求得两根为。
即在递增，递减，递增。
2），且解得：
2.（全国二22）．（本小题满分12分）
设函数．ⅰ）求的单调区间；
ⅱ）如果对任何，都有，求的取值范围．
解：ⅰ）．2分。
当（）时，，即；
当（）时，，即．
因此在每一个区间（）是增函数，在每一个区间（）是减函数． 6分。
ⅱ）令，则。
故当时，．又，所以当时，，即． 9分。
当时，令，则．
故当时，．因此在上单调增加．
故当时，即．
于是，当时，．
当时，有．因此，的取值范围是． 12分。
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