2024年高考数学。
求解函数解析式答题技巧与应试必备。
求解函数解析式是高考重点考查内容之一，需引起重视。本节主要帮**生在深刻理解函数定义的基础上，掌握求函数解析式的几种方法，并形成能力，并培养考生的创新能力和解决实际问题的能力。
难点磁场。★★★已知f(2－cosx)=cos2x+cosx,求f(x－1).
案例**。例1］(1)已知函数f(x)满足f(logax)= 其中a>0,a≠1,x>0),求f(x)的表达式。
2)已知二次函数f(x)=ax2+bx+c满足|f(1)|=f(－1)|=f(0)|=1,求 f(x) 的表达式。
命题意图：本题主要考查函数概念中的三要素：定义域、值域和对应法则，以及计算能力和综合运用知识的能力。属★★★题目。
知识依托：利用函数基础知识，特别是对“f”的理解，用好等价转化，注意定义域。
错解分析：本题对思维能力要求较高，对定义域的考查、等价转化易出错。
技巧与方法：(1)用换元法；(2)用待定系数法。
解：(1)令t=logax(a>1,t>0;0因此f(t)= at－a－t)
f(x)= ax－a－x)(a>1,x>0;0(2)由f(1)=a+b+c,f(－1)=a－b+c,f(0)=c
得。并且f(1)、f(－1)、f(0)不能同时等于1或－1，所以所求函数为：f(x)=2x2－1或f(x)=－2x2+1或f(x)=－x2－x+1或f(x)=x2－x－1或f(x)=－x2+x+1或f(x)=x2+x－1.
例2］设f(x)为定义在r上的偶函数，当x≤－1时，y=f(x)的图象是经过点(－2，0)，斜率为1的射线，又在y=f(x)的图象中有一部分是顶点在(0，2)，且过点(－1，1)的一段抛物线，试写出函数f(x)的表达式，并在图中作出其图象。
命题意图：本题主要考查函数基本知识、抛物线、射线的基本概念及其图象的作法，对分段函数的分析需要较强的思维能力。因此，分段函数是今后高考的热点题型。
属★★★题目。 知识依托：函数的奇偶性是桥梁，分类讨论是关键，待定系数求出曲线方程是主线。
错解分析：本题对思维能力要求很高，分类讨论、综合运用知识易发生混乱。
技巧与方法：合理进行分类，并运用待定系数法求函数表达式。
解：(1)当x≤－1时，设f(x)=x+b
射线过点(－2，0).∴0=－2+b即b=2，∴f(x)=x+2.
2)当－1∵抛物线过点(－1，1)，∴1=a·(－1)2+2,即a=－1
f(x)=－x2+2.
3)当x≥1时，f(x)=－x+2
综上可知：f(x)=作图由读者来完成。
锦囊妙计。本难点所涉及的问题及解决方法主要有：
1.待定系数法，如果已知函数解析式的构造时，用待定系数法；
2.换元法或配凑法，已知复合函数f［g(x)］的表达式可用换元法，当表达式较简单时也可用配凑法；
3.消参法，若已知抽象的函数表达式，则用解方程组消参的方法求解f(x);
另外，在解题过程中经常用到分类讨论、等价转化等数学思想方法。
歼灭难点训练。
一、选择题。
1.(★若函数f(x)= x≠)在定义域内恒有f［f(x)］=x,则m等于( )
a.3bcd.－3
2.(★设函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称，在x≤1时，f(x)=(x+1)2－1,则x>1时f(x)等于( )
二、填空题。
3.(★已知f(x)+2f()=3x,求f(x)的解析式为。
4.(★已知f(x)=ax2+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(x)+x+1,则f(x
三、解答题。
5.(★设二次函数f(x)满足f(x－2)=f(－x－2),且其图象在y轴上的截距为1，在x轴上截得的线段长为，求f(x)的解析式。
6.(★设f(x)是在(－∞上以4为周期的函数，且f(x)是偶函数，在区间［2，3］上时，f(x)=－2(x－3)2+4，求当x∈［1,2］时f(x)的解析式。若矩形abcd的两个顶点a、b在x轴上，c、d在y=f(x)(0≤x≤2)的图象上，求这个矩形面积的最大值。
7.(★动点p从边长为1的正方形abcd的顶点a出发顺次经过b、c、d再回到a，设x表示p点的行程，f(x)表示pa的长，g(x)表示△abp的面积，求f(x)和g(x),并作出g(x)的简图。
8.(★已知函数y=f(x)是定义在r上的周期函数，周期t=5，函数y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，又知y=f(x)在［0，1］上是一次函数，在［1，4］上是二次函数，且在x=2时，函数取得最小值，最小值为－5.
1)证明：f(1)+f(4)=0;
2)试求y=f(x),x∈［1,4］的解析式；
3)试求y=f(x)在［4，9］上的解析式。
参***。难点磁场。
解法一：(换元法）
f(2－cosx)=cos2x－cosx=2cos2x－cosx－1
令u=2－cosx(1≤u≤3),则cosx=2－u
f(2－cosx)=f(u)=2(2－u)2－(2－u)－1=2u2－7u+5(1≤u≤3)
f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+4(2≤x≤4)
解法二：(配凑法）
f(2－cosx)=2cos2x－cosx－1=2(2－cosx)2－7(2－cosx）+5
f(x)=2x2－7x－5(1≤x≤3),即f(x－1)=2(x－1)2－7(x－1)+5=2x2－11x+14(2≤x≤4).
歼灭难点训练。
一、1.解析：∵f(x)=.
f［f(x)］=x,整理比较系数得m=3.
答案：a2.解析：
利用数形结合，x≤1时，f(x)=(x+1)2－1的对称轴为x=－1,最小值为－1，又y=f(x)关于x=1对称，故在x>1上，f(x)的对称轴为x=3且最小值为－1.
答案：b二、3.解析：由f(x)+2f()=3x知f()+2f(x)=3.由上面两式联立消去f()可得f(x)=－x.
答案：f(x)=－x
4.解析：∵f(x)=ax2+bx+c,f(0)=0,可知c=0.
又f(x+1)=f(x)+x+1,a(x+1)2+b(x+1)+0=ax2+bx+x+1,即(2a+b）x+a+b=bx+x+1.
故2a+b=b+1且a+b=1,解得a=,b=,∴f(x)= x2+x.
答案： x2+x
三、5.解：利用待定系数法，设f(x)=ax2+bx+c,然后找关于a、b、c的方程组求解，f(x)=.
6.解：(1)设x∈［1,2］,则4－x∈［2,3］,∵f(x)是偶函数，∴f(x)=f(－x),又因为4是f(x)的周期，∴f(x)=f(－x)=f(4－x)=－2(x－1)2+4.
2)设x∈［0，1］，则2≤x+2≤3,f(x)=f(x+2)=－2(x－1)2+4,又由(1）可知x∈［0,2］时，f(x)=－2(x－1)2+4,设a、b坐标分别为(1－t,0）,(1+t,0)(0＜t≤1,则|ab|=2t,|ad|=－2t2+4,s矩形=2t(－2t2+4)=4t(2－t2),令s矩=s，∴ 2t2(2－t2)·(2－t2)≤(3=,当且仅当2t2=2－t2,即t=时取等号。∴s2≤即s≤,∴smax=.
7.解：(1)如原题图，当p在ab上运动时，pa=x;当p点在bc上运动时，由rt△abd 可得pa=;当p点在cd上运动时，由rt△adp易得pa=;当p点在da上运动时，pa=4－x,故f(x)的表达式为：
f(x)=
2)由于p点在折线abcd上不同位置时，△abp的形状各有特征，计算它们的面积也有不同的方法，因此同样必须对p点的位置进行分类求解。
如原题图，当p**段ab上时，△abp的面积s=0；当p在bc上时，即1＜x≤2时，s△abp=ab·bp= (x－1）；当p在cd上时，即2＜x≤3时，s△abp=·1·1=；当p在da上时，即3＜x≤4时，s△abp= (4－x).
故g(x)=
8.(1)证明：∵y=f(x)是以5为周期的周期函数，∴f(4)=f(4－5)=f(－1),又y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(1)=－f(－1)=－f(4),∴f(1)+f(4)=0.
2)解：当x∈［1,4］时，由题意，可设f(x)=a(x－2)2－5(a≠0),由f(1)+f(4)=0得a(1－2)2－5+a(4－2)2－5=0，解得a=2,∴f(x)=2(x－2)2－5(1≤x≤4).
3)解：∵y=f(x)(－1≤x≤1)是奇函数，∴f(0)=－f(－0),∴f(0)=0,又y=f(x) (0≤x≤1)是一次函数，∴可设f(x)=kx(0≤x≤1),∵f(1)=2(1－2)2－5=－3,又f(1)=k·1=k,∴k=－3.∴当0≤x≤1时，f(x) =3x,当－1≤x＜0时，f(x)=－3x,当4≤x≤6时，－1≤x－5≤1,∴f(x)=f(x－5)=
3(x－5)=－3x+15, 当6＜x≤9时，1＜x－5≤4,f(x)=f(x－5)=2［(x－5)－2］2－5=2(x－7)2－5.∴f(x)=.
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