第十篇计数原理。
第1讲分类加法计数原理与分步乘法计数原理。
2023年高考会这样考】
1．会用分类加法计数原理与分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实际应用问题．
2．结合分类讨论和“补集”思想考查两个原理的区别应用。
考点梳理。1．分类加法计数原理。
完成一件事有n类不同的方案，在第一类方案中有m1种不同的方法，在第二类方案中有m2种不同的方法，……在第n类方案中有mn种不同的方法，则完成这件事情共有n＝m1＋m2＋…＋mn种不同的方法．
2．分步乘法计数原理。
完成一件事情需要分成n个不同的步骤，完成第一步有m1种不同的方法，完成第二步有m2种不同的方法，……完成第n步有mn种不同的方法，那么完成这件事情共有n＝m1×m2×…×mn种不同的方法．
3．两个原理的区别与联系。
联系：两个计数原理都是关于完成一件事的不同方法种数的问题．
区别：分类计数原理与分类有关，各种方法相互独立，且任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与分步有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成．
助学·微博】
两个特点。分类加法计数原理的特点是独立、互斥；分步乘法计数原理的特点是关联、连续．解题时经常是两个原理交叉在一起使用，两个原理综合使用时，一般先分类，再分步，分类要标准明确，分步要步骤连续，有的题目也可能出现先分步，在“步”里面再分类．
两个关键。分类的关键在于要做到“不重不漏”，分步的关键在于要正确设计分步的步骤，既要合理分类，又要准确分步．
考点自测。1．(人教a版教材习题改编)由0,1,2,3这四个数字组成的四位数中，有重复数字的四位数共有( )
a．238个 b．232个 c．174个 d．168个。
解析可用排除法，由0,1,2,3可组成的四位数共有3×43＝192(个)，其中无重复的数字的四位数共有3a＝18(个)，故共有192－18＝174(个)．
答案 c2．(2012·辽宁)一排9个座位坐了3个三口之家，若每家人坐在一起，则不同的坐法种数为( )
a．3×3! b．3×(3！)3
c．(3！)4 d．9!
解析把一家三口看作一个排列，然后再排列这3家，所以有(3！)4种．
答案 c3．设x、y∈n且x＋y≤3，则直角坐标系中满足条件的点m(x，y)共有( )
a．3个 b．4个 c．5个 d．10个。
解析 x＝0，y＝0,1,2,3，共4个；x＝1，y＝0,1,2，共3个；x＝2，y＝0,1，共2个；x＝3，y＝0,1个．∴m(x，y)共有4＋3＋2＋1＝10个，故选d.
答案 d4．将4位老师分配到3个学校去任教，共有分配方案( )
a．81种 b．12种。
c．7种 d．256种。
解析每位老师都有3种分配方案分四步完成，∴共有3×3×3×3＝81种．
答案 a5．从1,2,3,4，…，100这100个自然数中，每次取出两个不同的数相乘，积是5的倍数的取法有___种．
解析从1到100的整数中，共有5的倍数20个，取两数积为5的倍数的取法有两类，第一类为两个数都从这20个数中取，有190种，另外一类为从这20个数中取一个，再从另外80个数中取一个，共有80×20＝1 600种取法，所以共1 600＋190＝1 790种不同的取法．
答案 1 790
考向一分类加法计数原理。
例1】(2012·浙江)若从1,2,3，…，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有( )
a．60种 b．63种 c．65种 d．66种。
审题视点] 先找出和为偶数的各种情况，再利用分类加法计数原理求解．
解析由题意知，满足题设的取法可分为三类：一是四个奇数相加，其和为偶数，在5个奇数1,3,5,7,9中，任意取4个，有c＝5(种)；二是两个奇数加两个偶数其和为偶数，在5个奇数中任取2个，再在4个偶数2,4,6,8中任取2个，有c·c＝60(种)；三是四个偶数相加，其和为偶数，4个偶数的取法有1种，所以满足条件的取法共有5＋60＋1＝66(种)．
答案 d分类时，首先要确定一个恰当的分类标准，然后在这个标准下进行分类；其次分类时要注意完成这件事情的任何一种方法必须属于某一类，并且分别属于不同种类的两种方法是不同的方法，只有满足这些条件，才可以用分类加法计数原理．
训练1】如图所示，在连接正八边形的三个顶点而成的三角形中，与正八边形有公共边的三角形有___个．
解析把与正八边形有公共边的三角形分为两类：
第一类，有一条公共边的三角形共有8×4＝32(个)；
第二类，有两条公共边的三角形共有8(个)．
由分类加法计数原理知，共有32＋8＝40(个)．
答案 40考向二分步乘法计数原理。
例2】(2011·北京)用数字2,3组成四位数，且数字2,3至少都出现一次，这样的四位数共有___个(用数字作答)．
审题视点] 组成这个四位数须分4步完成，故用分步乘法计数原理．
解析法一用2,3组成四位数共有2×2×2×2＝16(个)，其中不出现2或不出现3的共2个，因此满足条件的四位数共有16－2＝14(个)．
法二满足条件的四位数可分为三类：第一类含有一个2，三个3，共有4个；第二类含有三个2，一个3共有4个；第三类含有二个2，二个3共有c＝6(个)，因此满足条件的四位数共有2×4＋c＝14(个)．
答案 14此类问题，首先将完成这件事的过程分步，然后再找出每一步中的方法有多少种，求其积．注意：各步之间相互联系，依次都完成后，才能做完这件事．简单说使用分步计数原理的原则是步与步之间的方法“相互独立，逐步完成”．
训练2】 (2012·新课标全国)将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有( )
a．12种 b．10种 c．9种 d．8种。
解析利用分步乘法计数原理和组合数公式求解．分两步：第一步，选派一名教师到甲地，另一名到乙地，共有c＝2(种)选派方法；第二步，选派两名学生到甲地，另外两名到乙地，共有c＝6(种)选派方法．由分步乘法计数原理得不同的选派方案共有2×6＝12(种)．
答案 a考向三两个计数原理的综合应用。
例3】(2012·陕西)两人进行乒乓球比赛，先赢3局者获胜，决出胜负为止，则所有可能出现的情形(各人输赢局次的不同视为不同情形)共有( )
a．10种 b．15种 c．20种 d．30种。
审题视点] 比赛场数至少3场，至多5场，通过分类讨论，用分类加法计数原理和分步乘法计数原理分析问题，解决问题．
解析分三种情况：恰好打3局，有2种情形；恰好打4局(一人前3局中赢2局，输1局，第4局赢)，共有2c＝6种情形；恰好打5局(一人前4局中赢2局，输2局，第5局赢)，共有2c＝12种情形．所有可能出现的情形共有2＋6＋12＝20种，故选c.
答案 c(1)解决此类综合题的关键在于区分该问题是“分类”还是“分步”．
2)解决既有“分类”又有“分步”的综合问题时，应“先分类，后分步”．
训练3】 已知集合m∈，n∈，从两个集合中各取一个元素作为点的坐标，则这样的坐标在直角坐标系中可表示第。
一、二象限内不同的点的个数是( )
a．18 b．10 c．16 d．14
解析 m中的元素作点的横坐标，n中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有1×2个．n中的元素作点的横坐标，m中的元素作点的纵坐标，在第一象限的点共有2×2个，在第二象限的点共有2×2个．所求不同的点的个数是2×2＋1×2＋2×2＋2×2＝14(个)．
答案 d热点突破24——计数原理的应用。
命题研究】 纵观历年高考对两个计数原理应用的考查，多以选择题与填空题的形式出现，考查蕴含在实际问题的解决中，多是两原理结合在一起应用，做好问题转化，分好类与步是关键，今年高考仍会坚持此规律，不会有大的变化．
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