高考数学复习

第十二篇推理证明、算法、复数。

第1讲合情推理与演绎推理。

2023年高考会这样考】

1．考查利用归纳推理、类比推理去寻求更为一般的、新的结论．

2．考查演绎推理，主要与立体几何、解析几何、函数与导数等结合．

考点梳理。1．合情推理。

1)归纳推理：由某类事物的部分对象具有某些特征，推出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理，或者由个别事实概括出一般结论的推理，称为归纳推理．简言之，归纳推理是由部分到整体、由个别到一般的推理．

2)类比推理：由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特征的推理称为类比推理．简言之，类比推理是由特殊到特殊的推理．

3)合情推理：归纳推理和类比推理都是根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳、类比，然后提出猜想的推理，我们把它们统称为合情推理．

2．演绎推理。

1)演绎推理：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理．简言之，演绎推理是由一般到特殊的推理．

2)“三段论”是演绎推理的一般模式，包括：

大前提——已知的一般原理；

小前提——所研究的特殊情况；

结论——根据一般原理，对特殊情况作出的判断．

助学·微博】

一个防范。合情推理是从已知的结论推测未知的结论，发现与猜想的结论都要经过进一步严格证明．

两个要点。1)应用演绎推理证题时，大前提可省略，解题中应注意过程的规范性．

2)当大前提和小前提正确时，得到的结论一定正确．

考点自测。1．(2013·烟台质检)命题“有些有理数是无限循环小数，整数是有理数，所以整数是无限循环小数”是假命题，推理错误的原因是( )

a．使用了归纳推理。

b．使用了类比推理。

c．使用了“三段论”，但大前提错误。

d．使用了“三段论”，但小前提错误。

解析大前提是特称命题，而小前提是全称命题．

答案 c2．(2012·江西)观察下列各式：a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，则a10＋b10＝(

a．28 b．76 c．123 d．199

解析记an＋bn＝f(n)，则f(3)＝f(1)＋f(2)＝1＋3＝4；f(4)＝f(2)＋f(3)＝3＋4＝7；f(5)＝f(3)＋f(4)＝11.通过观察不难发现f(n)＝f(n－1)＋f(n－2)(n∈n*，n≥3)，则f(6)＝f(4)＋f(5)＝18；f(7)＝f(5)＋f(6)＝29；f(8)＝f(6)＋f(7)＝47；f(9)＝f(7)＋f(8)＝76；f(10)＝f(8)＋f(9)＝123.所以a10＋b10＝123.

答案 c3．(2013·临沂二模)对于大于或等于2的自然数n的二次方幂有如下分解方式：22＝1＋3,32＝1＋3＋5,42＝1＋3＋5＋7，…，根据上述分解规律，对任意自然数n，当n≥2时，有___

解析分解后是以1为首项，2为公差，项数为n的等差数列的和．

答案 n2＝1＋3＋…＋2n－1)

4．在平面上，若两个正三角形的边长比为1∶2，则它们的面积比为1∶4，类似地，在空间中，若两个正四面体的棱长比为1∶2，则它们的体积比为___

解析 ∵两个正三角形是相似的三角形，∴它们的面积之比是相似比的平方．同理，两个正四面体是两个相似几何体，体积之比为相似比的立方，所以它们的体积比为1∶8.

答案 1∶8

5．(2011·陕西)观察下列等式。

照此规律，第n个等式应为___

解析由前4个等式可知，第n个等式的左边第一个数为n，且连续2n－1个整数相加，右边为(2n－1)2，故第n个等式为n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…3n－2)＝(2n－1)2.

答案 n＋(n＋1)＋(n＋2)＋…3n－2)＝(2n－1)2

考向一归纳推理。

例1】观察下列等式：

可以推测：13＋23＋33＋…＋n3n∈n*，用含有n的代数式表示)．

审题视点] 第二列的右端分别是12,32,62,102,152，与第一列比较可得结论．

解析第二列等式的右端分别是1×1,3×3,6×6,10×10,15×15，∵1,3,6,10,15，…，第n项an与第n－1项an－1(n≥2)的差为：an－an－1＝n，∴a2－a1＝2，a3－a2＝3，a4－a3＝4，…，an－an－1＝n，等号的左右两端分别相加得，an＝a1＋2＋3＋…＋n，其中a1＝1，∴an＝1＋2＋3＋…＋n，即an＝，∴a＝n2(n＋1)2.

答案 n2(n＋1)2

(1)数的归纳包括数字归纳和式子归纳，解决此类问题时，需要细心观察，寻求相邻项及项与序号之间的关系，同时还要联系相关的知识，如等差数列、等比数列等．

2)形的归纳主要包括图形数目归纳和图形变化规律归纳．

训练1】 (2012·青岛模拟)观察下列等式：×＝1－，×1－，×1－，…由以上等式推测到一个一般结论为___

解析观察等号右侧分母数值的变化与左侧相加项数的关系，项数与分母中2的指数一致，分母中指数前边系数比项数多1，可得右侧为1－，左侧观察相加的项数与最后一项中2的指数一致，其他就好确定，从而得到左侧为。

答案1－(n∈n*)

考向二类比推理。

例2】在平面几何里，有“若△abc的三边长分别为a，b，c，内切圆半径为r，则三角形面积为s△abc＝(a＋b＋c)r”，拓展到空间，类比上述结论，“若四面体a－bcd的四个面的面积分别为s1，s2，s3，s4，内切球的半径为r，则四面体的体积为。

审题视点] 注意发现其中的规律总结出共性加以推广，或将结论类比到其他方面，得出结论．

解析三角形的面积类比为四面体的体积，三角形的边长类比为四面体四个面的面积，内切圆半径类比为内切球的半径．二维图形中类比为三维图形中的，得v四面体a－bcd＝

s1＋s2＋s3＋s4)r.

答案 v四面体a－bcd＝(s1＋s2＋s3＋s4)r

(1)类比是从一种事物的特殊属性推测另一种事物的特殊属性．(2)类比的结果是猜测性的，不一定可靠，但它却有发现的功能．

训练2】 (2013·长沙模拟)已知p(x0，y0)是抛物线y2＝2px(p>0)上的一点，过p点的切线方程的斜率可通过如下方式求得：在y2＝2px两边同时对x求导，得2yy′＝2p，则y′＝，所以过p的切线的斜率k＝.类比上述方法求出双曲线x2－＝1在p(，)处的切线方程为___

解析将双曲线方程化为y2＝2(x2－1)，类比上述方法两边同时对x求导得2yy′＝4x，则y′＝，即过p的切线的斜率k＝，由于p(，)故切线斜率k＝＝2，因此切线方程为y－＝2(x－)，整理得2x－y－＝0.

答案 2x－y－＝0

考向三演绎推理。

例3】数列的前n项和记为sn，已知a1＝1，an＋1＝sn(n∈n*)．证明：

1)数列是等比数列；

2)sn＋1＝4an.

审题视点] 在推理论证过程中，一些稍复杂一点的证明题常常要由几个三段论才能完成．(1)由等比数列的定义及sn与an的关系证明；(2)由(1)可推得．

证明 (1)∵an＋1＝sn＋1－sn，an＋1＝sn，(n＋2)sn＝n(sn＋1－sn)，即nsn＋1＝2(n＋1)sn.

＝2·，(小前提)

故是以1为首项，2为公比的等比数列．(结论)

大前提是等比数列的定义，这里省略了)

2)由(1)可知＝4·(n≥2)，sn＋1＝4(n＋1)·＝4··sn－1

4an(n≥2)，(小前提)

又a2＝3s1＝3，s2＝a1＋a2＝1＋3＝4＝4a1，(小前提)

对于任意正整数n，都有sn＋1＝4an.(结论)

第(2)问的大前提是第(1)问的结论以及题中的已知条件)

演绎推理是从一般到特殊的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题时，应当首先明确什么是大前提和小前提，如果前提是显然的，则可以省略．

训练3】已知函数f(x)＝(x∈r)．

1)判定函数f(x)的奇偶性；

2)判定函数f(x)在r上的单调性，并证明．

解 (1)对任意x∈r有－x∈r，并且f(－x)＝＝f(x)，所以f(x)是奇函数．

2)f(x)在r上单调递增，证明如下：

任取x1，x2∈r，并且x1＞x2，f(x1)－f(x2)＝－

x1＞x2，∴2x1＞2x2＞0，即2x1－2x2＞0.

又∵2x1＋1＞0,2x2＋1＞0，＞0.

f(x1)＞f(x2)．

f(x)在r上为单调递增函数．

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