广东省河源市2024年初中学业考试数学试卷。
一、选择题：每小题3分，共15分。
1．的倒数是。
a．—2b．2cd．
2．下列各式运算正确的是。
a ． b． c． d．
3．下面是空心圆柱在指定方向上的视图，正确的是。
4．下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是。
a.等边三角形 b.平行四边形 c.等腰梯形d.菱形。
5．我市五月份连续五天的最高气温分别为(单位： )这组数据的中位数和众数分别是
a．22,26b．22,20c．21,26d．21,20
二、填空题：每小题4分，共20分。
6．4的算术平方根是．
7．函数的自变量的取值范围是．
8．我市山清水秀，被誉为绿色明珠，是中国优秀旅游城市，年接待中外游客约5000000人，这个数字用科学记数法表示为人。
9．如图1,在 rt△abc中，∠b=90°.ed是ac的垂直平分线，交ac于点d,交bc于点e,已知∠bae=30°,则∠c的度数为。
10．凸n边形的对角线的条数记作，例如：，那么用含的代数式表示）
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．（本题满分6分）计算：．
12．（本题满分6分）化简：．
13．（本题满分6分）某校九年级数学兴趣小组的同学开展了测量东江宽度的活动。如图2，他们在河东岸边的a点测得河西岸边的标志物b在它的正西方向，然后从a点出发沿河岸向正北方向行进200米到点c处，测得b在点c的南偏西60° 的方向上，他们测得东江的宽度是多少米？（结果保留整数，参考数据：
）14．（本题满分6分）王老师对河东中学九（一）班的某次模拟考试成绩进行统计后，绘制了频数分布直方图（如图3，分数取正整数，满分120分）．根据图形，回答下列问题：（直接填写结果）
1）该班有名学生；
2）89.5 --99.5这一组的频数是，频率是。
3）估算该班这次数学模拟考试的平均成绩是。
15．（本题满分6分）如图4，在平面直角坐标系中，点a（-4，4），点b（-4，0），将△abo绕原点o按顺时针方向旋转135°得到△。回答下列问题：（直接写结果）
1）∠aob=°；
2）顶点a从开始到经过的路径长为 ；
3）点的坐标为。
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．（本题满分7分) 如图5，点p在平行四边形abcd的cd边上，连结bp并延长与 ad的延长线交于点q．
（1）求证：△dqp∽△cbp；
（2）当△dqp≌△cbp，且ab=8时，求dp的长．
17．(本题满分7分) 如图6,我市某展览厅东面有两个入口a、b,南面、西面、北面各有一个出口。小华任选择一个入口进入展览大厅，参观结束后任选一个出口离开．
(1)利用树状图表示她从进入到离开的所有路径；
2) 她从入口a进入展厅并从北出口离开的概率是多少？
18．(本题满分7分。) 如图7,反比例函数的图像与一次函数的图象交于点a、b,其中a(1,2)．
(1)求m，b的值；
(2)求点b的坐标，并写出时，的取值范围。
图7 19．(本题满分7分) 为了鼓励城区居民节约用水，某市规定用水收费标准如下：每户每月的用水量不超过20度时(1度=1米),水费为a元/度；超过20度时，不超过部分仍为a元/度，超过部分为b元/度．已知某用户四份用水15度，交水费22.5元，五月份用水30度，交水费50元．
(1)求a,b的值；
2）若估计该用户六月份的水费支出不少于60元，但不超过90元，求该用户六月份的用水量x的取值范围．
五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)
20．(本题满分9分) 如图8,等腰梯形abcd中，ab∥cd,ad=bc.将△acd沿对角线ac翻折后，点d恰好与边ab的中点m重合．
(1)点c是否在以ab为直径的圆上？请说明理由；
(2)当ab=4时，求此梯形的面积．
21．(本题满分9分) 如图9,已知线段ab的长为2a，点p是ab上的动点（p不与a，b重合），分别以ap、pb为边向线段ab的同一侧作正△apc和正△pbd．
（1）当△apc与△pbd的面积之生取最小值时，ap=；（直接写结果）
（2）连结ad、bc，相交于点q，设∠aqc=α，那么α的大小是否会随点p的移动面变化？请说明理由；
（3）如图10，若点p固定，将△pbd绕点p按顺时针方向旋转（旋转角小于180°），此时α的大小是否发生变化？（只需直接写出你的猜想，不必证明）
22．(本题满分9分) 如图11，已知抛物线与x 轴交于两点a、b，其顶点为c．
1)对于任意实数m，点m（m，-2）是否在该抛物线上？请说明理由；
2)求证：△abc是等腰直角三角形；
3)已知点d在x轴上，那么在抛物线上是否存在点p，使得以b、c、d、p为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由．
图11 河源市2024年初中毕业生学业考试数学答案。
一、选择题：每小题3分，共15分。每小题给出四个答案，其中只有一个是正确的。
1．a 2．b 3．c 4．d 5．d
二、填空题：每小题4分，共20分。
三、解答题（一）（本大题5小题，每小题6分，共30分）
11．解：原式=
12．解：原式=
13．解：在rt△abc中，∠bac=900,ac=200，tan600=,∴ab=200×≈200×1.732≈346（米）
14．解：（1）40；（2）8人，0.2；（3）87.5分。
15．解：（1）450；（2）；（3）（2，2）
四、解答题（二）（本大题4小题，每小题7分，共28分）
16．证明：（1）∵四边形abcd是平行四边形，∴aq∥bc, ∴dqp∽△cbp；
2）∵△dqp≌△cbp，∴dp=cp=cd, ∵ab=cd=8, ∴dp=4.
17．（1）一共有六种情况；
2）p（从入口a进入展厅并从北出口离开）=
18．解：（1）∵反比例函数的图像过点a(1,2)，∴2=，m=2;
一次函数的图象过点a(1,2)，∴2=-1+b,b=3.
2）∵，解得，，∴点b（2,1），根据图像可得，当1＜x＜2时，
19．解：（1）a=22.5÷15=1.5；b=(50-20×1.5)÷(30-20)=2;
2）根据题意，得60≤20×1.5+2（x-20）≤90,35≤x≤50.
五、解答题(三)(本大题3小题，每小题9分，共27分)
20．解：（1）点c在以ab为直径的圆上。
理由：连接mc,md,ab∥cd,∴∠dca=∠bac,∠dac=∠bac, ∴dac=∠dca, ∴ad=cd,ad=am, ∴cd=am,
四边形amcd是平行四边形，∴mc=ad,同理md=bc, ∵ad=bc, ∴mc=md=ad=bc=ma=mb,∴点c在以ab为直径的圆上。
2)由（1）得△amd是等边三角形，过点d作de⊥ab于e,由勾股定理得，de=,∴梯形abcd的面积=.
21．解：（1）；（2）α的大小不会随点p的移动而变化，理由：∵△apc是等边三角形，∴pa=pc, ∠apc=600,△bdp是等边三角形，∴pb=pd, ∠bpd=600, ∴apc=∠bpd,∠apd=∠cpb, ∴apd≌△cpb, ∴pad=∠pcb,
∠qap+∠qac+∠acp=1200,∴∠qcp+∠qac+∠acp=1200, ∴aqc=1800-1200 =600;
3) 此时α的大小不会发生改变，始终等于600.
22．解：（1）假如点m（m，-2）在该抛物线上，则-2=m2-4m+3,m2-4m+5=0,由于△=（4）2-4×1×5=-4＜0，此方程无实数解，所以点m（m，-2）不会在该抛物线上；
2）当y=0时，x2-4x+3=0,x1=1,x2=3,由于点a在点b左侧，∴a(1,0),b(3,0)
y= x2-4x+3=(x-2)2-1, ∴顶点c的坐标是（2，-1），由勾股定理得，ac=,bc=,ab=2，ac2+bc2=ab2, ∴abc是等腰直角三角形；
3)存在这样的点p.
根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，因此连接点p与点c的线段应被x轴平分，点p的纵坐标是1，点p在抛物线y= x2-4x+3上，∴当y=1时，即x2-4x+3=1，解得x1=2-,x2=2+,点p的坐标是（2-，1）或（2+，1）.
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