兰州成功私立中学高中奥数辅导资料。
内部资料）3集合。
集合的划分反映了集合与子集之间的关系，这既是一类数学问题，也是数学中的解题策略——分类思想的基础，在近几年来的数学竞赛中经常出现，日益受到重视，本讲主要介绍有关的概念、结论以及处理集合、子集与划分问题的方法。
1． 集合的概念。
集合是一个不定义的概念，集合中的元素有三个特征：
1） 确定性设是一个给定的集合，是某一具体对象，则或者是的元素，或者不是的元素，两者必居其一，即∈与仅有一种情况成立。
2） 互异性一个给定的集合中的元素是指互不相同的对象，即同一个集合中不应出现同一个元素。
3） 无序性。
2． 集合的表示方法。
主要有列举法、描述法、区间法、语言叙述法。常用数集如：应熟记。
3． 实数的子集与数轴上的点集之间的互相转换，有序实数对的集合与平面上的点集可以互相转换。对于方程、不等式的解集，要注意它们的几何意义。
4． 子集、真子集及相等集。
1）或＝；2）且≠；
3）＝且。5． 一个阶集合（即由个元素组成的集合）有个不同的子集，其中有－1个非空子集，也有－1个真子集。
6． 集合的交、并、补运算。
且}要掌握有关集合的几个运算律：
1） 交换律 ＝，
2） 结合律（）＝3） 分配律 （）
4）0—1律。
（5）等幂律 ＝，
6）吸收律 ()
7）求补律 cia＝，cia＝
8）反演律
7． 有限集合所含元素个数的几个简单性质。
设表示集合所含元素的个数，（1）,当时，2）－
例题讲解。元素与集合的关系。
1． 设＝，求证：（1）∈(
2． 以某些整数为元素的集合具有下列性质：①中的元素有正数，有负数；
中的元素有奇数，有偶数；③－1；④若，∈,则＋∈试判断实数0和2与集合的关系。
3． 设为满足下列条件的有理数的集合：①若∈，∈则+∈，对任一个有理数，三个关系∈，－0有且仅有一个成立。证明：是由全体正有理数组成的集合。
两个集合之间的关系。
在两个集合之间的关系中，我们感兴趣的是“子集”、“真子集”、“相等”这三种特殊关系。这些关系是通过元素与集合的关系来揭示的，因而判断两个集合之间的关系通常可从判断元素与这两个集合的关系入手。
4． 设函数，集合，1） 证明：；
2） 当时，求。
3） 当只有一个元素时，求证：．
5．为非空集合，对于1，2，3的任意一个排列，若，则。
1） 证明：三个集合中至少有两个相等。
2） 三个集合中是否可能有两个集无公共元素？
6．已知集合：
问。1） 当取何值时，为含有两个元素的集合？
2） 当取何值时，为含有三个元素的集合？
7．设且≥15，都是真子集，，且。
。证明：或者中必有两个不同数的和为完全平方数。
课后练习。1．下列八个关系式：①=00} ⑥0 ⑦ 其中正确的个数。
a）4b）5c）6 （d）7
2．设a、b是全集u的两个子集，且ab，则下列式子成立的是。
a）cuacub （b）cuacub=u （c）acub= （d）cuab=
3．已知m=，且，设，则。
（a）m （b）nc）pd）
4．设集合，则。
a） （b） （c） （d）
5．设m=，a是m的子集且满足条件： 当x∈a时，15xa，则a中元素的个数最多是。
6．集合a,b的并集a∪b=，当且仅当a≠b时，(a,b)与(b,a)视为不同的对，则这样的(a,b)对的个数有。
7．若非空集合a=，b=,则能使aa∩b成立的a的取值范围是。
8．若a=为单元素集合，则实数a的值为。
9．设a=，则集合a中被7除余2且不能被57整除的数的个数为。
10．己知集合a=，b=,其中f(x)=x2+ax+b (a,b∈r)，证明：（1）ab （2）若a只含有一个元素，则a=b .
11．集合a=,集合b=，又a，求实数m的取值范围。
课后练习答案。
1-4 c c b a
5．解：由于1995=15133，所以，只要n>133，就有15n>1995.故取出所有大于133而不超过1995的整数。
由于这时己取出了159=135, …15133=1995. 故9至133的整数都不能再取，还可取1至8这8个数，即共取出1995—133+8=1870个数， 这说明所求数≥1870。
另一方面，把k与15k配对，（k不是15的倍数，且1≤k≤133）共得133—8=125对，每对数中至多能取1个数为a的元素，这说明所求数≤1870，综上可知应填1870
6．解：a=φ时，有1种可能；a为一元集时，b必须含有其余2元，共有6种可能；a为二元集时，b必须含有另一元。共有12种可能；a为三元集时，b可为其任一子集。
共8种可能。故共有1+6+12+8=27个。
7．解：由a非空知2a+1≤3a-5，故a≥6. 由aab知ab. 即3≤2a+1且3a-5≤22, 解之，得1≤a≤9. 于是知6≤a≤9
8．解：由。若，则a有无数个元，若，则a为空集，只有当即时，a为单元素集或。所以。
9．解：被7除余2的数可写为7k+2. 由100≤7k+2≤600.
知14≤k≤85. 又若某个k使7k+2能被57整除，则可设7k+2=57n. 即。
即n-2应为7的倍数。 设n=7m+2代入，得k=57m+16. ∴14≤57m+16≤85.
m=0,1.于是所求的个数为85-(14-1)-2=70
10．证明：（1）
2)设a=，即二次方程f(x)-x=0有惟一解c，即c为 f(x)-x=0的重根。
∴ f(x)-x=(x-c)2 即f(x)=(x-c)2+x,于是f(f(x))=f(x)-c)2+f(x),f(f(x))-x=(f(x)-c)2+f(x)-x=[(x-c)2+x-c]2+(x-c)2=0
故f(f(x))=x也只有惟一解x=c，即b=. 所以a=b
11．解：由得。
设由数形结合得：
解得：例题答案：
1．分析：如果集合＝，那么判断对象是否是集合的元素的基本方法就是检验是否具有性质。
解：（1）∵,且＝,故∈；
2）假设，则存在，使＝
即。由于与具有相同的奇偶性，所以（*）式左边有且仅有两种可能：奇数或4的倍数，另一方面，（*式右边只能被4除余2的数，故（*）式不能成立。由此，。
2．解：由④若，∈,则＋∈可知，若∈，则。
1） 由①可设，∈，且＞0，＜0，则。
故，－∈由④,0＝(－
2）2。若2∈，则中的负数全为偶数，不然的话，当－（）时，－1＝（－与③矛盾。于是，由②知中必有正奇数。设，我们取适当正整数，使。
则负奇数。前后矛盾。
3．证明：设任意的∈，≠0,由②知∈，或－∈之一成立。再由①，若∈，则；若－∈，则。总之，。
取=1，则1∈。再由①，2=1+1∈，3=1+2∈，…可知全体正整数都属于。
设，由①，又由前证知，所以∈。因此，含有全体正有理数。
再由①知，0及全体负有理数不属于。即是由全体正有理数组成的集合。
4．解：（1）设任意∈，则＝.而。
故∈,所以。
2） 因，所以。
解得。故 。由得。
解得 ，=显然满足条件，和与都无公共元素。
6．解：=。与分别为方程组。
的解集。由（ⅰ）解得（）=0，1）=（由（ⅱ）解得。
1） 使恰有两个元素的情况只有两种可能：
由①解得=0；由②解得=1。
故=0或1时，恰有两个元素。
2） 使恰有三个元素的情况是：=
解得，故当时，恰有三个元素。
7．证明：由题设，的任何元素必属于且只属于它的真子集之一。
假设结论不真，则存在如题设的的真子集，使得无论是还是中的任两个不同的数的和都不是完全平方数。
不妨设1∈，则3，否则1+3=，与假设矛盾，所以3∈。同样6，所以6∈，这时10，，即10∈。因≥15，而15或者在中，或者在中，但当15∈时，因1∈，1+15=，矛盾；当15∈时，因10∈，于是有10+15=，仍然矛盾。
因此假设不真。即结论成立。
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