【高考试题】2024年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 ．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为 ．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 ．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 （结果用反三角函数值表示）．
7．（4分）已知曲线c的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则c与极轴的交点到极点的距离是 ．
8．（4分）设无穷等比数列的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．
9．（4分）若f（x）=﹣则满足f（x）＜0的x的取值范围是 ．
10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合=，则a+b= ．
12．（4分）设常数a使方程sinx+cosx=a在闭区间[0，2π]上恰有三个解x1，x2，x3，则x1+x2+x3= ．
13．（4分）某游戏的得分为1，2，3，4，5，随机变量ξ表示小白玩该游戏的得分，若e（ξ）4.2，则小白得5分的概率至少为 ．
14．（4分）已知曲线c：x=﹣，直线l：x=6，若对于点a（m，0），存在c上的点p和l上的q使得+=，则m的取值范围为 ．
二、选择题（共4题，满分20分）每题有且只有一个正确答案，选对得5分，否则一律得零分。
15．（5分）设a，b∈r，则“a+b＞4”是“a＞2且b＞2”的（ ）
a．充分非必要条件 b．必要非充分条件。
c．充要条件 d．既非充分又非必要条件。
16．（5分）如图，四个棱长为1的正方体排成一个正四棱柱，ab是一条侧棱，pi（i=1，2，…8）是上底面上其余的八个点，则（i=1，2，…，8）的不同值的个数为（ ）
a．1 b．2 c．3 d．4
17．（5分）已知p1（a1，b1）与p2（a2，b2）是直线y=kx+1（k为常数）上两个不同的点，则关于x和y的方程组的解的情况是（ ）
a．无论k，p1，p2如何，总是无解。
b．无论k，p1，p2如何，总有唯一解。
c．存在k，p1，p2，使之恰有两解。
d．存在k，p1，p2，使之有无穷多解。
18．（5分）设f（x）=，若f（0）是f（x）的最小值，则a的取值范围为（ ）
a．[﹣1，2] b．[﹣1，0] c．[1，2] d．[0，2]
三、解答题（共5题，满分72分）
19．（12分）底面边长为2的正三棱锥p﹣abc，其表面展开图是三角形p1p2p3，如图，求△p1p2p3的各边长及此三棱锥的体积v．
20．（14分）设常数a≥0，函数f（x）=．
1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f﹣1（x）；
2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．
21．（14分）如图，某公司要在a、b两地连线上的定点c处建造广告牌cd，其中d为顶端，ac长35米，cb长80米，设点a、b在同一水平面上，从a和b看d的仰角分别为α和β．
1）设计中cd是铅垂方向，若要求α≥2β，问cd的长至多为多少（结果精确到0.01米）？
2）施工完成后，cd与铅垂方向有偏差，现在实测得α=38.12°，β18.45°，求cd的长（结果精确到0.01米）．
22．（16分）在平面直角坐标系xoy中，对于直线l：ax+by+c=0和点p1（x1，y1），p2（x2，y2），记η=（ax1+by1+c）（ax2+by2+c），若η＜0，则称点p1，p2被直线l分隔，若曲线c与直线l没有公共点，且曲线c上存在点p1、p2被直线l分隔，则称直线l为曲线c的一条分隔线．
1）求证：点a（1，2），b（﹣1，0）被直线x+y﹣1=0分隔；
2）若直线y=kx是曲线x2﹣4y2=1的分隔线，求实数k的取值范围；
3）动点m到点q（0，2）的距离与到y轴的距离之积为1，设点m的轨迹为曲线e，求证：通过原点的直线中，有且仅有一条直线是e的分隔线．
23．（16分）已知数列满足an≤an+1≤3an，n∈n*，a1=1．
1）若a2=2，a3=x，a4=9，求x的取值范围；
2）设是公比为q的等比数列，sn=a1+a2+…an，若sn≤sn+1≤3sn，n∈n*，求q的取值范围．
3）若a1，a2，…ak成等差数列，且a1+a2+…ak=1000，求正整数k的最大值，以及k取最大值时相应数列a1，a2，…ak的公差．
2024年上海市高考数学试卷（理科）
参***与试题解析。
一、填空题（共14题，满分56分）
1．（4分）函数y=1﹣2cos2（2x）的最小正周期是 ．
分析】由二倍角的余弦公式化简，可得其周期．
解答】解：y=1﹣2cos2（2x）
﹣[2cos2（2x）﹣1]
﹣cos4x，函数的最小正周期为t==
故答案为：点评】本题考查二倍角的余弦公式，涉及三角函数的周期，属基础题．
2．（4分）若复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=6 ．
分析】把复数代入表达式，利用复数代数形式的混合运算化简求解即可．
解答】解：复数z=1+2i，其中i是虚数单位，则（z+）=
（1+2i）（1﹣2i）+1
1﹣4i2+1
故答案为：6
点评】本题考查复数代数形式的混合运算，基本知识的考查．
3．（4分）若抛物线y2=2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 x=﹣2 ．
分析】由题设中的条件y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆的右焦点重合，故可以先求出椭圆的右焦点坐标，根据两曲线的关系求出p，再由抛物线的性质求出它的准线方程。
解答】解：由题意椭圆，故它的右焦点坐标是（2，0），又y2=2px（p＞0）的焦点与椭圆右焦点重合，故=2得p=4，抛物线的准线方程为x=﹣=2．
故答案为：x=﹣2
点评】本题考查圆锥曲线的共同特征，解答此类题，关键是熟练掌握圆锥曲线的性质及几何特征，熟练运用这些性质与几何特征解答问题．
4．（4分）设f（x）=，若f（2）=4，则a的取值范围为 （﹣2] ．
分析】可对a进行讨论，当a＞2时，当a=2时，当a＜2时，将a代入相对应的函数解析式，从而求出a的范围．
解答】解：当a＞2时，f（2）=2≠4，不合题意；
当a=2时，f（2）=22=4，符合题意；
当a＜2时，f（2）=22=4，符合题意；
a≤2，故答案为：（﹣2]．
点评】本题考察了分段函数的应用，渗透了分类讨论思想，本题是一道基础题．
5．（4分）若实数x，y满足xy=1，则x2+2y2的最小值为 2 ．
分析】由已知可得y=，代入要求的式子，由基本不等式可得．
解答】解：∵xy=1，y=
x2+2y2=x2+≥2=2，当且仅当x2=，即x=±时取等号，故答案为：2
点评】本题考查基本不等式，属基础题．
6．（4分）若圆锥的侧面积是底面积的3倍，则其母线与底面角的大小为 arccos （结果用反三角函数值表示）．
分析】由已知中圆锥的侧面积是底面积的3倍，可得圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，在轴截面中，求出母线与底面所成角的余弦值，进而可得母线与轴所成角．
解答】解：设圆锥母线与轴所成角为θ，圆锥的侧面积是底面积的3倍，==3，即圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，故圆锥的轴截面如下图所示：
则cosθ==arccos，故答案为：arccos
点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知得到圆锥的母线是圆锥底面半径的3倍，是解答的关键．
7．（4分）已知曲线c的极坐标方程为ρ（3cosθ﹣4sinθ）=1，则c与极轴的交点到极点的距离是 ．
分析】由题意，θ=0，可得c与极轴的交点到极点的距离．
解答】解：由题意，θ=0，可得ρ（3cos0﹣4sin0）=1，c与极轴的交点到极点的距离是ρ=．
故答案为：．
点评】正确理解c与极轴的交点到极点的距离是解题的关键．
8．（4分）设无穷等比数列的公比为q，若a1=（a3+a4+…an），则q= ．
分析】由已知条件推导出a1=，由此能求出q的值．
解答】解：∵无穷等比数列的公比为q，a1=（a3+a4+…an）
（﹣a1﹣a1q），q2+q﹣1=0，解得q=或q=（舍）．
故答案为：．
点评】本题考查等比数列的公比的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意极限知识的合理运用．
9．（4分）若f（x）=﹣则满足f（x）＜0的x的取值范围是 （0，1） ．
分析】直接利用已知条件转化不等式求解即可．
解答】解：f（x）=﹣若满足f（x）＜0，即＜，y=是增函数，的解集为：（0，1）．
故答案为：（0，1）．
点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查计算能力．
10．（4分）为强化安全意识，某商场拟在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，则选择的3天恰好为连续3天的概率是 （结果用最简分数表示）．
分析】要求在未来的连续10天中随机选择3天进行紧急疏散演练，选择的3天恰好为连续3天的概率，须先求在10天中随机选择3天的情况，再求选择的3天恰好为连续3天的情况，即可得到答案．
解答】解：在未来的连续10天中随机选择3天共有种情况，其中选择的3天恰好为连续3天的情况有8种，分别是（1，2，3），（2，3，4），（3，4，5），（4，5，6），5，6，7），（6，7，8），（7，8，9），（8，9，10），选择的3天恰好为连续3天的概率是，故答案为：．
点评】本题考查古典概型以及概率计算公式，属基础题．
11．（4分）已知互异的复数a，b满足ab≠0，集合=，则a+b= ﹣1 ．
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