【高考试题】2024年上海市高考数学试卷（理科）
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）设全集u=r．若集合α=，则α∩uβ=
2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= ．
4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= ．
5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点q到焦点的距离的最小值为1，则p= ．
6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 ．
8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 （结果用数值表示）．
9．已知点 p和q的横坐标相同，p的纵坐标是q的纵坐标的2倍，p和q的轨迹分别为双曲线c1和c2．若c1的渐近线方程为y=±x，则c2的渐近线方程为 ．
10．（4分）设f﹣1（x）为f（x）=2x﹣2+，x∈[0，2]的反函数，则y=f（x）+f﹣1（x）的最大值为 ．
11．（4分）在（1+x+）10的展开式中，x2项的系数为 （结果用数值表示）．
12．（4分）赌博有陷阱．某种赌博每局的规则是：赌客先在标记有1，2，3，4，5的卡片中随机摸取一张，将卡片上的数字作为其赌金（单位：元）；随后放回该卡片，再随机摸取两张，将这两张卡片上数字之差的绝对值的1.
4倍作为其奖金（单位：元）．若随机变量ξ1和ξ2分别表示赌客在一局赌博中的赌金和奖金，则 eξ1﹣eξ2= （元）．
13．（4分）已知函数f（x）=sinx．若存在x1，x2，…，xm满足0≤x1＜x2＜…＜xm≤6π，且|f（x1）﹣f（x2）|+f（x2）﹣f（x3）|+f（xm﹣1）﹣f（xm）|=12（m≥2，m∈n*），则m的最小值为 ．
14．在锐角三角形 a bc中，tana=，d为边 bc上的点，△a bd与△acd的面积分别为2和4．过d作d e⊥a b于 e，df⊥ac于f，则= ．
二、选择题（本大题共有4题，满分15分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．
15．（5分）设z1，z2∈c，则“z1、z2中至少有一个数是虚数”是“z1﹣z2是虚数”的（ ）
a．充分非必要条件 b．必要非充分条件。
c．充要条件 d．既非充分又非必要条件。
16．（5分）已知点a的坐标为（4，1），将oa绕坐标原点o逆时针旋转至ob，则点b的纵坐标为（ ）
a． b． c． d．
17．记方程①：x2+a1x+1=0，方程②：x2+a2x+2=0，方程③：
x2+a3x+4=0，其中a1，a2，a3是正实数．当a1，a2，a3成等比数列时，下列选项中，能推出方程③无实根的是（ ）
a．方程①有实根，且②有实根 b．方程①有实根，且②无实根。
c．方程①无实根，且②有实根 d．方程①无实根，且②无实根。
18．（5分）设 pn（xn，yn）是直线2x﹣y=（n∈n*）与圆x2+y2=2在第一象限的交点，则极限=（
a．﹣1 b．﹣ c．1 d．2
三、解答题（本大题共有5题，满分74分）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤。
19．（12分）如图，在长方体abcd﹣a1b1c1d1中，aa1=1，ab=ad=2，e、f分别是ab、bc的中点，证明a1、c1、f、e四点共面，并求直线cd1与平面a1c1fe所成的角的大小．
20．（14分）如图，a，b，c三地有直道相通，ab=5千米，ac=3千米，bc=4千米．现甲、乙两警员同时从a地出发匀速前往b地，经过t小时，他们之间的距离为f（t）（单位：千米）．甲的路线是ab，速度为5千米/小时，乙的路线是acb，速度为8千米/小时．乙到达b地后原地等待．设t=t1时乙到达c地．
1）求t1与f（t1）的值；
2）已知警员的对讲机的有效通话距离是3千米．当t1≤t≤1时，求f（t）的表达式，并判断f（t）在[t1，1]上的最大值是否超过3？说明理由．
21．（14分）已知椭圆x2+2y2=1，过原点的两条直线l1和l2分别于椭圆交于a、b和c、d，记得到的平行四边形acbd的面积为s．
1）设a（x1，y1），c（x2，y2），用a、c的坐标表示点c到直线l1的距离，并证明s=2|x1y2﹣x2y1|；
2）设l1与l2的斜率之积为﹣，求面积s的值．
22．（16分）已知数列与满足an+1﹣an=2（bn+1﹣bn），n∈n*．
1）若bn=3n+5，且a1=1，求数列的通项公式；
2）设的第n0项是最大项，即a≥an（n∈n*），求证：数列的第n0项是最大项；
3）设a1=λ＜0，bn=λn（n∈n*），求λ的取值范围，使得有最大值m与最小值m，且∈（﹣2，2）．
23．（18分）对于定义域为r的函数g（x），若存在正常数t，使得cosg（x）是以t为周期的函数，则称g（x）为余弦周期函数，且称t为其余弦周期．已知f（x）是以t为余弦周期的余弦周期函数，其值域为r．设f（x）单调递增，f（0）=0，f（t）=4π．
1）验证g（x）=x+sin是以6π为周期的余弦周期函数；
2）设a＜b，证明对任意c∈[f（a），f（b）]，存在x0∈[a，b]，使得f（x0）=c；
3）证明：“u0为方程cosf（x）=1在[0，t]上得解，”的充要条件是“u0+t为方程cosf（x）=1在区间[t，2t]上的解”，并证明对任意x∈[0，t]，都有f（x+t）=f（x）+f（t）．
2024年上海市高考数学试卷（理科）
参***与试题解析。
一、填空题（本大题共有14题，满分48分．）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果，每个空格填对4分，否则一律得零分．
1．（4分）设全集u=r．若集合α=，则α∩uβ=
分析】本题考查集合的运算，由于两个集合已经化简，故直接运算得出答案即可．
解答】解：∵全集u=r，集合α=，ub）=，a∩（ub）=，故答案为：．
点评】本题考查集合的交、并、补的混合运算，熟练掌握集合的交并补的运算规则是解本题的关键．本题考查了推理判断的能力．
2．（4分）若复数z满足3z+=1+i，其中i是虚数单位，则z= ．
分析】设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈r），利用复数的运算法则、复数相等即可得出．
解答】解：设z=a+bi，则=a﹣bi（a，b∈r），又3z+=1+i，3（a+bi）+（a﹣bi）=1+i，化为4a+2bi=1+i，4a=1，2b=1，解得a=，b=．
z=．故答案为：．
点评】本题考查了复数的运算法则、复数相等，属于基础题．
3．（4分）若线性方程组的增广矩阵为解为，则c1﹣c2= 16 ．
分析】根据增广矩阵的定义得到，是方程组的解，解方程组即可．
解答】解：由题意知，是方程组的解，即，则c1﹣c2=21﹣5=16，故答案为：16．
点评】本题主要考查增广矩阵的求解，根据条件建立方程组关系是解决本题的关键．
4．（4分）若正三棱柱的所有棱长均为a，且其体积为16，则a= 4 ．
分析】由题意可得（aasin60°）a=16，由此求得a的值．
解答】解：由题意可得，正棱柱的底面是变长等于a的等边三角形，面积为aasin60°，正棱柱的高为a，（aasin60°）a=16，∴a=4，故答案为：4．
点评】本题主要考查正棱柱的定义以及体积公式，属于基础题．
5．（4分）抛物线y2=2px（p＞0）上的动点q到焦点的距离的最小值为1，则p= 2 ．
分析】利用抛物线的顶点到焦点的距离最小，即可得出结论．
解答】解：因为抛物线y2=2px（p＞0）上的动点q到焦点的距离的最小值为1，所以=1，所以p=2．
故答案为：2．
点评】本题考查抛物线的方程与性质，考查学生的计算能力，比较基础．
6．（4分）若圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，则其母线与轴的夹角的大小为 ．
分析】设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，由已知中圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，可得l=2h，进而可得其母线与轴的夹角的余弦值，进而得到答案．
解答】解：设圆锥的底面半径为r，高为h，母线长为l，则圆锥的侧面积为：πrl，过轴的截面面积为：
rh，圆锥的侧面积与过轴的截面面积之比为2π，l=2h，设母线与轴的夹角为θ，则cosθ==故θ=，故答案为：．
点评】本题考查的知识点是旋转体，其中根据已知求出圆锥的母线与轴的夹角的余弦值，是解答的关键．
7．（4分）方程log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2的解为 2 ．
分析】利用对数的运算性质化为指数类型方程，解出并验证即可．
解答】解：∵log2（9x﹣1﹣5）=log2（3x﹣1﹣2）+2，∴log2（9x﹣1﹣5）=log2[4×（3x﹣1﹣2）]，9x﹣1﹣5=4（3x﹣1﹣2），化为（3x）2﹣123x+27=0，因式分解为：（3x﹣3）（3x﹣9）=0，3x=3，3x=9，解得x=1或2．
经过验证：x=1不满足条件，舍去．
x=2．故答案为：2．
点评】本题考查了对数的运算性质及指数运算性质及其方程的解法，考查了计算能力，属于基础题．
8．（4分）在报名的3名男老师和6名女教师中，选取5人参加义务献血，要求男、女教师都有，则不同的选取方式的种数为 120 （结果用数值表示）．
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高考试题 2014年上海市高考数学试卷 理科 一 填空题 共14题，满分56分 1 4分 函数y 1 2cos2 2x 的最小正周期是 2 4分 若复数z 1 2i，其中i是虚数单位，则 z 3 4分 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆的右焦点重合，则该抛物线的准线方程 4 4分 设f x 若f 2 ...
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