2023年a题交调频率设计的参考解答。
1. 问题分析。
根据题目给出的数据条件，首先要确定输入输出的函数关系。这是一个曲线拟合问题。由于交调是因为输入u(t)的乘方产生的。
故此处用多项式拟合输入输出关系是恰当的。那么，拟合多项式的最高次数是多少？因为uk(t)可能产生≤k阶类型的交调，而题目要求考虑二阶和三阶类型的交调，故最高次数必定≥3.
到底最高次数为多少，待后面通过计算再确定。
2. 模型假设。
1) 不考虑系统外部的干扰；
2) 拟合出的输入输出关系，对自变量u(t)在其有效范围内均成立。
3. 模型建立及求解。
1) 输入输出关系的建立。
由前面的分析，输入输出关系应该用≥3次的多项式拟合。那么，我们试用不同次数的多项式进行拟合来比较，结果发现用≥4次的多项式进行拟合时，拟合出的多项式中次数≥4的项的系数非常小(≤10-5),以致不会对结果产生影响。故用三次多项式进行拟合已达到精度了。
设拟合多项式为：
y(t)=α0+α1u(t)+ 2u2(t)+ 3u3(t)
在所给的数据中有u=0时，y=0.故选取α0=0较好，于是拟合多项式化为：
y(t)= 1u(t)+ 2u2(t)+ 3u3(t)
用最小二乘法对y(t)进行三元回归确定系数。记x1(t)=u(t),x2(t)=u2(t),x3(t)=u3(t).
令： 求a1,a2,a3使φ(a1,a2,a3)为最小。
由得：解此方程组得。
a1=0.2441
a2=0.04538
a3=-0.0004133
故拟合多项式为：
y(t)=0.2441u(t)+0.04538u2(t)-0.000413u3(t11.13)
可以用mathematica软件作函数拟合与上述结果进行比较。
2) 频率约束条件下的初步配置。
由假设(2),输入输出关系(11.13)对u(t)在其有效范围内均成立。故可将输入。
u(t14)
代入(11.14)式，经整理得到输出y(t)的频率成分有以下几种：
1 1阶：fi,i=1,2,3;
2 2阶：|fi±fj|,i,j=1,2,3;
3 3阶：| fi±fj±fk |,i,j=1,2,3.
由约束条件。
36≤f1≤40,41≤f2≤50,46≤f3≤55得。
fi+fj≥77>f3+6
fi-fj |≤19 fi+fj+fk>f3+6
故二阶交调和三阶交调中的fi+fj+fk,均不在fi(i=1,2,3)产生干扰的频带[30,61]中。因此，这些交调可以不必考虑。剩余的三阶交调为如下形式：
d(i,j)=2fi-fji≠j)
g(i,j,k)=fi+fj-fki≠j≠k11.15)
根据条件(2)与(4)应满足下述不等式。
用计算机求解满足上述条件的频率组是比较容易的。具体作法是：采用穷举法，逐一选出满足(11.16)式的频率组(在计算过程中，不妨设f1 fi f2 f3
3) 信噪比条件下的进一步配置。
信噪比snr的约束是：当交调出现在fi±6时，要求snr>10(db).因此，需从上述6组解中，进一步求出满足snr要求的解。
为此，需计算输出y(t)中频率为fi的系数和交调2fi-fj,fi+fj-fk(i≠j≠k)的系数。
将(11.14)式代入(11.13)得：
其中θk=2πfkt,a1,a2,a3是拟合多项式的系数。其中y2仅包含二阶交调，故无影响。y3较复杂，可能出现频率成分θk,2θk-θj, θi+θj-θk(i≠j≠k).
要方便的求出各种频率的系数，比较好的办法是采用fourier级数展开，这样能够处理更一般的问题。
将y3表为复数形式。
显然，y3(θ1, θ2, θ3)关于θ1, θ2, θ3均是以2π为周期的函数，故可将其展为fourier级数。
于是y3中对应于单频率成份θi的系数是。
c1,0,0和c-1,0,0(对应f1)
c0,1,0和c0,-1,0(对应f2)
c0,0,1和c0,0,-1(对应f3)
归纳为一般形式，得。
1 y3中对应于单频率成份θi的系数是满足n1+n2+n3=±1,且|n1|+|n2|+|n3|=1的系数，类似地得。
2 y3中对应于频率成份2θi-θj, θi+θj-θk的系数是满足n1+n2+n3=±1且|n1|+|n2|+|n3|=3的系数。
下面计算信噪比中所需频率的振幅。单频率中以θi为例：
c-1,0,0=c1,0,0
故y3中对应于θ1的系数中。
d1,0,0=2c1,0,011.22)
与（11.17）式中y1的频率成份θ1的系数合并得对应于频率f1的振幅为：
用同样的方法可求出对应于2θ1-θ2的系数（即振幅）为：
对应于θ1+θ2-θ3的系数为：
归纳起来，y(t)中有关频率的振幅为：
1 对应于频率fi的振幅bi(i=1,2,3)为。
(j≠k≠i11.26)
对应于频率2fi-fi的振幅(i=1,2,为11.27)
对应于频率fi+fj-fk(i,j,k=1,2,的振幅为。
将此处所求的各种频率的振幅用于(2)中求出的满足频率约束条件的6组配置，分别计算出有关的信噪比snr=10lg(),检验是否snr>10(db).最终求出满足条件的解有二组：
4. 稳定性分析。
1) 解关于拟合多项式系数的稳定性。
这里讨论的是当拟合多项式的系数在什么范围变化时，解仍是解，非解仍是非解。
由前面的讨论中可看到，当拟合多项式系数发生变化时，输出信号中，各种频率的振幅将发生变化，但输出的频率不会发生变化。故只需讨论拟合多项式的系数变化时有关信噪比的影响，即当拟合多项式的系数在什么范围变化时，前面得到的6组频率中1,2组仍是解，3～6组仍是非解。
设另有拟合多项式。
同(3)中的方法一样可得中有关频率的振幅为。
对应于fi的振幅。
对应于2fi-fj的振幅。
（i≠j11.31)
对应fi+fj-fk的振幅。
i≠j≠k11.32)
计算有关的信噪比，并使1,2组频率仍为解，3～组频率仍为非解，得下述不等式。
解此不等式组，即可得的变化范围，在此范围内解是稳定的。
2) 高阶拟合多项式(≥阶)对解的影响。
前面在拟合输出函数时，采用的是三阶多项式。实际上大于等于4次的函数亦能够产生一阶、二阶、三阶的交调。但由于4次及4次以上的项其系数非常小(≤10-5).
故其生产的交调的振幅相对3次项产生的该交调的振幅的变化在解的稳定范围之内。故用三次多项式作拟合函数是足够精确的。
5. 推广与改进。
二项有意义的推广是。
1) 将输入信号由3项改为n项。
研究其信噪比的计算和研究高阶交调(如5,7阶)的分析。fourier分析方法是研究此问题的重要工具。
2) 讨论输入输出曲线的拟合在负部进行或其它假定下解的情况。
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