例1 判断下列语句是否是命题，并说明理由．
1)7是23的约数吗？
2)若x＜2，则x＜1；
3)x2＋2x－1＝0；
4)存在实数x，使得不等式x2－3x＋1＜0成立；
5)这是一棵大树．
解】 (1)不是命题．因为是疑问句，不能判断真假．
2)是命题．因为由x＜2不能推出x＜1，可以作出判断．
3)不是命题．因为字母的性质不明确，不能判断真假，所以不是命题．
4)是命题．因为根据不等式的解法我们可以求得不等式x2－3x＋1＜0的解，所以是命题．
5)不是命题．因为“大树”没有界定，不能判断其真假。
例2 命题的结构形式。
把下列命题改写成“若p，则q”的形式，并判断命题的真假：
1)奇数不能被2整除；
2)当(a－1)2＋(b－1)2＝0时，a＝b＝1；
3)两个相似三角形是全等三角形．
解】 (1)若一个数是奇数，则它不能被2整除，是真命题；
2)若(a－1)2＋(b－1)2＝0，则a＝b＝1，是真命题；
3)若两个三角形是相似三角形，则这两个三角形是全等三角形，是假命题．
题型二四种命题真假的判断。
判断下列命题的真假，并写出它们的逆命题、否命题、逆否命题，同时判断这些命题的真假．
1)若a＞b，则ac2＞bc2；
2)若四边形的对角互补，则该四边形是圆的内接四边形．
解】 (1)该命题为假命题，因为当c＝0时，ac2＝bc2.
逆命题：若ac2＞bc2，则a＞b，为真命题．
否命题：若a≤b，则ac2≤bc2，为真命题．
逆否命题：若ac2≤bc2，则a≤b，为假命题．
2)该命题为真命题．
逆命题：若四边形是圆的内接四边形，则四边形的对角互补，为真命题．
否命题：若四边形的对角不互补，则该四边形不是圆的内接四边形，为真命题．
逆否命题：若四边形不是圆的内接四边形，则四边形的对角不互补，为真命题．
题型三互为逆否的命题同真同假的应用。
证明：已知函数f(x)是(－∞上的增函数，a、b∈r，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明】 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞上的增函数，a、b∈r，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞上是增函数，f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
原命题为真命题．
题型一充分、必要条件及充要条件的判断。
判断下列各题中p是q的什么条件？
1)在△abc中，p：a＞b，q：bc＞ac；
2)p：x＞1，q：x2＞1；
3)p：(a－2)(a－3)＝0，q：a＝3；
4)p：a＜b，q：＜1.
解】 (1)由三角形中大角对大边可知，若a＞b，则bc＞ac；反之，若bc＞ac，则a＞b．因此，p是q的充要条件．
2)由x＞1可以推出x2＞1；由x2＞1得x＜－1或x＞1，不一定有x＞1.因此p是q的充分不必要条件．
3)由(a－2)(a－3)＝0可以推出a＝2或a＝3，不一定有a＝3；由a＝3可以得出(a－2)(a－3)＝0.因此p是q的必要不充分条件．
4)由于a＜b，当b＜0时，＞1；当b＞0时，＜1，故若a＜b，不一定有＜1；当a＞0，b＞0，＜1时，可以推出a＜b；当a＜0，b＜0，＜1时，可以推出a＞b.因此p是q的既不充分也不必要条件．
题型三充分条件、必要条件、充要条件的应用。
如果p：x(x－3)<0是q：2x－3【解】
p：x(x－3)<0，即0题型二判断含逻辑联结词命题的真假。
判断下列命题的真假：
1)等腰三角形顶角的平分线平分底边并且垂直于底边；
2)x＝±1是方程x2＋3x＋2＝0的根；
3)集合a不是a∪b的子集．
解】 (1)这个命题是“p∧q”的形式，其中p：等腰三角形顶角的平分线平分底边，q：等腰三角形顶角的平分线垂直于底边，因为p真，q真，则“p∧q”真，所以该命题是真命题．
2)这个命题是“p∨q”的形式，其中p：1是方程x2＋3x＋2＝0的根，q：－1是方程x2＋3x＋2＝0的根，因为p假，q真，则“p∨q”真，所以该命题是真命题．
3)这个命题是“﹁p”的形式，其中p：a(a∪b)，因为p真，则“﹁p”假，所以该命题是假命题．
题型三含逻辑联结词的综合问题。
设有两个命题．命题p：不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是；命题q：函数f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数．如果p∧q为假命题，p∨q为真命题，求a的取值范围．
解】 对于p：∵不等式x2－(a＋1)x＋1≤0的解集是，δ＝a＋1)]2－4＜0.
解这个不等式得：－3＜a＜1.
对于q：f(x)＝(a＋1)x在定义域内是增函数，则有a＋1＞1，∴a＞0.
又p∧q为假命题，p∨q为真命题，p、q必是一真一假．
当p真q假时有－3＜a≤0，当p假q真时有a≥1.
综上所述，a的取值范围是(－3,0]∪[1，＋∞
由复合命题的真假求参数范围。
本题满分12分)已知：p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根；q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根，若“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，求实数m的取值范围．
解】 p：方程x2＋mx＋1＝0有两个不等的负实数根m＞2.2分。
q：方程4x2＋4(m－2)x＋1＝0无实数根。
＝16(m－2)2－16＜01＜m＜3.4分。
﹁p：m≤2，﹁q：m≤1或m≥3.5分。
“p∨q”为真命题，且“p∧q”是假命题，p为真且q为假，或p为假且q为真。7分。
1)当p为真且q为假时，即p为真且﹁q为真，解得m≥3；9分。
2)当p为假且q为真时，即﹁p为真且q为真，解得1＜m≤2.11分。
综上所述，实数m的取值范围是(1,2]∪[3，＋∞
12分。题型一全称命题、特称命题的判定。
判断下列命题是全称命题还是特称命题．
1)梯形的对角线相等；
2)存在一个四边形有外接圆；
3)二次函数都存在零点；
4)过两条平行线有且只有一个平面．
解】 命题(1)省略了“所有的”，完整的表述应为“所有梯形的对角线相等”，很显然为全称命题；
命题(2)为特称命题；
命题(3)完整的表述为“所有的二次函数都存在零点”，为全称命题；
命题(4)是命题“过任意两条平行线有且只有一个平面”的简写，故为全称命题．
所以命题(1)(3)(4)为全称命题，命题(2)为特称命题．
题型二全称命题与特称命题真假的判断。
判断下列命题的真假．
1)x∈r，都有x2－x＋1>；
2)α，使cos(α－cos α－cos β；
3)存在一个函数，既是偶函数又是奇函数；
4)每一条线段的长度都能用正有理数表示；
5)存在一个实数x0，使等式x＋x0＋8＝0成立．
解】 (1)真命题．∵x2－x＋1－＝x2－x＋
x2－x＋1>恒成立．
2)真命题．例如α＝，符合题意．
3)真命题，函数f(x)＝0就是所求函数；
4)假命题，如：边长为1的正方形的对角线长为，它的长度就不是有理数．
5)假命题，因为该方程的判别式δ＝－31＜0，故无实数解．
题型三全称命题与特称命题的否定。
写出下列命题的否定，并判断其真假：
1)p：不论m取何实数，方程x2＋mx－1＝0必有实根；
2)p：存在实数a，b，使得|a－1|＋|b＋2|＝0.
解】 (1)﹁p：存在一个实数m，使方程x2＋mx－1＝0没有实数根．因为该方程的判别式δ＝m2＋4>0恒成立，故﹁p为假命题．
2)﹁p：对于任意的实数a，b，有|a－1|＋|b＋2|≠0.
当a＝1，b＝－2时，a－1|＋|b＋2|＝0.
故﹁p为假命题．
易错警示对命题否定结构理解的误区。
2012·高考安徽卷)命题“存在实数x，使x>1”的否定是( )
a．对任意实数x，都有x>1
b．不存在实数x，使x≤1
c．对任意实数x，都有x≤1
d．存在实数x，使x≤1
常见错误】 本题极易错选为b，误把“存在”否定为“不存在”，而“存在”的否定其实是“任意”．
解析】 “存在实数x，使x＞1”的否定是“对任意实数x，都有x≤1”．故选c.
答案】 c1若a，b，c为实数，且a＜b＜0，则下列命题正确的是( )
a．a2＞ab＞b2b．ac2＜bc2
c.＜ d．＞
常见错误】 (1)易忽略c＝0这一情况，而导致结论错误而选b．
2)a，b的符号不清楚，不等式的性质运用不熟练，而误选d．
解析】 对于选项a：因为a＜b＜0，所以a＜0，b＜0，所以a2＞ab，ab＞b2，所以a2＞ab＞b2.
对于选项b：因为c∈r，所以c2≥0.
当c＝0时，ac2＝bc2；当c≠0时，ac2＜bc2.
对于选项c：因为a＜b＜0，所以ab＞0，所以a＜b，所以＜，对于选项d：因为a＜b＜0，所以＜＜0，所以＜.
2证明：已知函数f(x)是(－∞上的增函数，a、b∈r，若f(a)＋f(b)≥f(－a)＋f(－b)，则a＋b≥0.
证明】 原命题的逆否命题为“已知函数f(x)是(－∞上的增函数，a、b∈r，若a＋b<0，则f(a)＋f(b)若a＋b<0，则a<－b，b<－a，又∵f(x)在(－∞上是增函数，f(a)∴f(a)＋f(b)即逆否命题为真命题．
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