高三数学试题 （2023年3月11日）
考生注意：本试卷共有22道试题，考试时间100分钟，满分100分．
一、填空题（每小题3分，满分36分）
1．已知，是的反函数，则。
3．设为虚数单位，计算。
4．已知平面向量、，，且，则的坐标是。
5．等差数列中，若，，那么当___时，前项和．
6．不等式的解集是。
7．过点且与圆相切的的直线方程是。
8．曲线关于直线对称的曲线方程是。
9．一个二面角的大小为，点、在棱上，点、分别在二面角的两个面内，且△和△都是正三角形，则∠的大小是用反三角函数值表示）．
10．展开式中的常数项等于。
11．设函数（且）在区间上的最大值与最小值之和等于，则的值是。
二、选择题（每小题3分，满分12分）
1．函数是。
(a) 周期为的偶函数b) 周期为的奇函数。
c) 周期为的偶函数d) 周期为的奇函数。
2．已知、是不重合的直线，、是不重合的平面，有下列命题：
①若，∥，则∥；②若∥，∥则∥；
若，∥，则∥且∥；④若且，则∥．
其中真命题的个数是。
(abcd)
3．若与在区间上都是减函数，则实数的取值范围是。
(a) (b) (c) (d)
4．若关于的不等式≤＋4的解集是m，则对任意实常数，总有（ ）
a）2∈m，0∈m； （b）2m，0m； （c）2∈m，0m； （d）2m，0∈m．
三、解答题（本大题共有6题，满分52分）
17（本题6分）．
解关于的不等式．
18（本题8分）．
已知数列的前项和满足（）．求．
19（本题8分）．
给出求二面角大小的一种方法：设有二面角，若点、，、且，，则向量与夹角的大小等于这个二面角的大小．
如图，直三棱柱中，底面是直角三角形，，，是的中点．试用上述方法求二面角的大小．
20（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
在△中，角、、所对的边分别为、、，且．
1）求的值；
2）若，求的最大值．
21（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
如图，是抛物线：上除原点以外的任意一点，直线过点且与垂直，与抛物线相交于另一点．
1）当点的横坐标为时，求直线的方程；
2）当点在抛物线上移动时，求线段。
的中点的轨迹方程，并求点到轴的最短距离．
22（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
已知函数（且）．
1）计算的值；
2）设，猜测对一切，均成立的最小自然数，并用二项式定理加以证明．
高三数学试题参*** （2023年12月）
一、填空题（每小题3分，共36分）
1．9 2． 3．1 4． 5．17 6．且 7． 8． 9． 10．19 11． 12．③④
二、选择题（每小题3分，共12分） 13．b 14．b 15．d 16．c
三、解答题（共52分）
17（本题6分）．
解：当即时，解集为 （2分）
当即时，由得或。
∴或5分）∴ 当时，原不等式的解集为；
当时，原不等式的解集为或。 （6分）
18．（本题8分）
解：当时1分）
当时， （2分）， 是首项为，公比为的等比数列 （5分），
8分）19（本题8分）．
解：以为原点，直线、、为轴、轴、轴建立空间直角坐标系 （1分）
取中点，连结，由，，，得各点坐标：
3分）4分）
由，得， 向量与的夹角的大小就等于二面角的大小 （7分）
∴ 二面角的大小为8分）
20（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
解：（1）∵，4分）
2）由余弦定理得，， 6分）
8分）∴，即的最大值为10分）
21（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
解：（1）设，当时，2分）
∴ 直线的方程是，即 （4分）
2）设（），则，
∴ 直线的方程是6分）
由得，设，，则
7分）消去得，（）这就是点的轨迹方程 （8分）
由得，∴上式等号当且仅当即时成立。
点到轴的最短距离为10分）
22（本题10分，第（1）题4分，第（2）题6分）．
解：（1）4分）
26分）由，得，当，时均不符合要求，当，对成立，故猜测使命题成立的最小自然数是 （8分）
现用二项式定理证明对一切都成立：
∴ 猜测成立，即使对一切自然数都成立的最小自然数为 （10分）
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