第五章不等式、推理与证明、算法初步与复数。
考点测试32 不等关系与不等式。
一、基础小题。
1．若a＝(x＋3)(x＋7)，b＝(x＋4)(x＋6)，则a，b的大小关系为( )
a．ac．a>b d．不确定。
答案 a解析因为(x＋3)(x＋7)－(x＋4)(x＋6)
(x2＋10x＋21)－(x2＋10x＋24)＝－3<0，故a2．下列不等式：①m－3>m－5；②5－m>3－m；③5m>3m；④5＋m>5－m，其中正确的有( )
a．1个 b．2个。
c．3个 d．4个。
答案 b解析显然①②正确；对③，m≤0时不成立；对④，m≤0时不成立．故选b.
3．已知a>b，c>d，且c，d不为0，那么下列不等式成立的是( )
a．ad>bc b．ac>bd
c．a－c>b－d d．a＋c>b＋d
答案 d解析由不等式性质知：a>b，c>d，则a＋c>b＋d.
4．已知aa． >b．a2>b2
c．2－a>2－b d．2a>2b
答案 c解析 ∵a－b，∴2－a>2－b.
5．设m＝2a(a－2)，n＝(a＋1)(a－3)，则( )
a．m>n b．m≥n
c．m答案 a
解析由题意知，m－n＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝2a2－4a－(a2－2a－3)＝(a－1)2＋2>0恒成立，所以m>n，故选a.
6．设a，b∈[0，＋∞a＝＋，b＝，则a，b的大小关系是( )
a．a≤b b．a≥b
c．ab答案 b
解析由题意得，b2－a2＝－2≤0，且a≥0，b≥0，可得a≥b，故选b.
7．已知aa．a2c．ba答案 d
解析因为a0，b的符号不定，对于a8．已知a，b，c，d为实数，则“a>b且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的( )
a．充分不必要条件 b．必要不充分条件。
c．充要条件 d．既不充分也不必要条件。
答案 a解析因为c>d，所以c－d>0.又a>b，所以两边同时乘以(c－d)，得a(c－d)>b(c－d)，即ac＋bd>bc＋ad.若ac＋bd>bc＋ad，则a(c－d)>b(c－d)，也可能ab且c>d”是“ac＋bd>bc＋ad”的充分不必要条件，故选a.
9．若6a．[9,18] b．(15,30)
c．[9,30] d．(9,30)
答案 d解析 ∵≤b≤2a，∴≤a＋b≤3a，即≤c≤3a.
610．已知a，b，c∈r＋，若<<，则a，b，c的大小关系为( )
a．cc．a答案 a
解析因为a，b，c∈r＋，由<，得cb＋c211．若<<0，则下列不等式：①a＋b|b|；③aa．①②b．②③
c．①④d．③④
答案 c解析因为<<0，所以b0，所以a＋b12．现给出三个不等式：①a2＋1>2a；②a2＋b2>2；③＋其中恒成立的不等式共有___个．
答案 2解析因为a2－2a＋1＝(a－1)2≥0，所以①不恒成立；对于②，a2＋b2－2a＋2b＋3＝(a－1)2＋(b＋1)2＋1>0，所以②恒成立；对于③，因为(＋)2－(＋2＝2－2>0，且＋>0，＋>0，所以＋>＋即③恒成立．
二、高考小题。
13．[2014·山东高考]已知实数x，y满足axa． >b．ln (x2＋1)>ln (y2＋1)
c．sinx>siny d．x3>y3
答案 d解析 ∵axy，∴x3>y3.
14．[2014·四川高考]若a>b>0，ca． >b． <
c． >d． <
答案 d解析 ∵c－d>0，∴0<<，即》0.又∵a>b>0，∴>
15．[2016·北京高考]已知x，y∈r，且x>y>0，则( )
a．－>0 b．sinx－siny>0
c． x－y<0 d．ln x＋ln y>0
答案 c解析函数y＝x在(0，＋∞上为减函数，∴当x>y>0时， xy>0<－<0，故a错误；函数y＝sinx在(0，＋∞上不单调，当x>y>0时，不能比较sinx与siny的大小，故b错误；x>y>0xy>1ln (xy)>0ln x＋ln y>0，故d错误．
16．[2016·浙江高考]已知实数a，b，c.(
a．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2＋c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
b．若|a2＋b＋c|＋|a2＋b－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
c．若|a＋b＋c2|＋|a＋b－c2|≤1，则a2＋b2＋c2<100
d．若|a2＋b＋c|＋|a＋b2－c|≤1，则a2＋b2＋c2<100
答案 d解析利用特值法验证．令a＝3，b＝3，c＝－11.5，排除a；令a＝4，b＝－15.5，c＝0，排除b；令a＝11，b＝－10.5，c＝0，排除c，故选d.
17．[2015·湖北高考]设x∈r，[x]表示不超过x的最大整数．若存在实数t，使得[t]＝1，[t2]＝2，…，tn]＝n同时成立，则正整数n的最大值是( )
a．3 b．4
c．5 d．6
答案 b解析若n＝3，则即。
得9≤t6<16，即当≤t《时，有[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，n＝3符合题意．
若n＝4，则即。
得34≤t12<53，即当≤t《时，有[t]＝1，[t2]＝2，[t3]＝3，[t4]＝4，故n＝4符合题意．
若n＝5，则。
即 ①63<35，∴<故①式无解，即n＝5不符合题意，则正整数n的最大值为4.
三、模拟小题。
18．[2016·东北模拟]已知<<0，则下列结论错误的是( )
a．a22c．ab>b2 d．lg a2答案 c
解析 ∵<0，∴－0，∴a－b>0，∴ab－b2＝(a－b)b<0，∴ab19．[2016·广东东莞模拟]设a，b∈r，若a＋|b|<0，则下列不等式中正确的是( )
a．a－b>0 b．a3＋b3>0
c．a2－b2<0 d．a＋b<0
答案 d解析当b≥0时，a＋b<0，当b<0时，a－b<0，∴a＋b<0，故选d.
20．[2017·安徽合肥模拟]已知a，b∈r，下列命题正确的是( )
a．若a>b，则|a|>|b| b．若a>b，则<
c．若|a|>b，则a2>b2 d．若a>|b|，则a2>b2
答案 d解析当a＝1，b＝－2时，a不正确；当a＝1，b＝－2时，b不正确；当a＝1，b＝－2时，c不正确；对于d，a>|b|≥0，则a2>b2，故选d.
21．[2017·山西临汾质检]下列命题中，正确的是( )
a．若a>b，c>d，则ac>bd
b．若ac>bc，则a>b
c．若<，则ad．若a>b，c>d，则a－c>b－d
答案 c解析取a＝2，b＝1，c＝－1，d＝－2，可知a错误；当c<0时，ac>bca0，∴a22．[2017·河南郑州月考]设实数x，y满足0a．x>2且y>2 b．x<2且y<2
c．02且0答案 c
解析由题意得由2x＋2y－4－xy＝(x－2)·(2－y)<0，得或又xy<4，可得故选c.
23．[2017·山东德州月考]已知实数a，b，c满足b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，则a，b，c的大小关系为( )
a．ac．b答案 a
解析由c－b＝4－4a＋a2＝(2－a)2≥0，得b≤c，再由b＋c＝6－4a＋3a2，c－b＝4－4a＋a2，得2b＝2＋2a2，因为1＋a2－a＝2＋>0，所以b＝1＋a2>a，所以a24．[2017·河北邯郸质检]对于实数a，b，c有下列命题：①若a>b，则acbc2，则a>b；③若aab>b2；④若c>a>b>0，则》；⑤若a>b， >则a>0，b<0.
其中是真命题的是___写出所有真命题的序号)．
答案 ②③解析若c>0，则①不成立；由ac2>bc2，知c≠0，则a>b，②成立；由aab，ab>b2，即a2>ab>b2，③成立；由c>a>b>0，得0b，－＝0，则ab<0，故a>0，b<0，⑤成立．故所有的真命题为②③④
一、高考大题。
本考点在近三年高考中未涉及此题型．
二、模拟大题。
1．[2016·山东质检]已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c满足f(1)＝0，且a>b>c，求的取值范围．
解 ∵f(1)＝0，∴a＋b＋c＝0.
b＝－(a＋c)．又a>b>c，a>－(a＋c)>c，且a>0，c<0.
1>－>即1>－1－>.
解得－2<<－
2．[2016·江西南昌月考]设集合a＝，b＝，函数f(x)＝x0∈a且f[f(x0)]∈a，求x0的取值范围．
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