二次根式。
1.1二次根式的概念。
1）二次根式的定义：像这样表示的算术平方根，且根号内含字母的代数式叫做二次根式。为了方便，我们把一个数的算术平方根（如）也叫做二次根式。
……即一个非负数的算术平方根。（注意：二次根式根号内字母的取值范围必须满足被开方式（数）大于或等于零（非负）。
题型：类型之一：二次根式的定义。
1.判断，下列各式中哪些是二次根式？
；；；a＜0＝；
2.下列各式是二次根式吗？
3.在式子，中，是二次根式的有。
a．2个 b．3个 c．4个 d．5个。
总结：判断一个式子是二次根式要满足：① 二次根式都含有二次根号；
在二次根式中，被开方数必须满足，当时，根式无意义；
在二次根式中，可以是数也可以是一个代数式；
二次根式是的算术平方根，所以。
类型之二：确定二次根式中被开方数所含字母的取值范围。
1.求下列二次根式中字母a的取值范围：
2.当下列各题的字母取何值时，下列各式为二次根式：
3.当取什么实数时，下列各式有意义？
1.2二次根式的性质。
1.()a(a≥0) 解二次根式问题的基本途径——通过平方，去掉根号有理化。
a (a≥0)
2. =a揭示了与绝对值的内在一致性。
a (a＜0）
3. =a≥0，b≥0)
4. (a≥0，b≥0)，给出了二次根式乘除法运算的法则。
5.若a＞b＞0，则＞＞0，反之亦然，这是比较二次根式大小的基础。
运用二次根式性质解题应注意：
（1）每一性质成立的条件，即等式中字母的取值范围；
2）要学会性质的“正用”和“逆用”，既能够从等式的左边变形到等式的右边，也能够从等式的右边变形到等式的左边。
题型。类型之一。
1.求下列二次根式的值：
12），其中。2.计算：
3）（a<３）4）（x<）
类型之二。1.化简：
2.先化简，再求出下面算式的近似值（精确到0.01）
3. （1）已知，求的值．
2)若，则。
4、、、在数轴上的位置如下图所示，则。
5、若，则。
6、若，则。
7、化简：（1）( 0 < x < 1 ) 2)（1 < a < 8）
总结：化简的步骤：①先进行观察，寻找平方因数、带分数、处理符号等；②确定运算的顺序，并应用性质进行变形；③作出化简后的结果；④再回顾题目中的要求（精确度等）或适当调整解答的顺序，寻找更为合理的解答方法。
对二次根式化简结果的要求：①根号中不能含有除1以外的平方因数（能开得尽方的因式要尽量开出来）；②根号内的结果应该是自然数，即不能含有分母或小数；③分母中不能含有根号。
1. 3二次根式的运算。
= (a≥0，b≥0)
a≥0，b≥0)
类型之一。1．计算：（1） ；2）；（3）
2、计算：（1） （23） （4）
（5） （67）2 （8）a
类型之二。1、化简，当a＞0，b＞0时，结果为___当a＜0，b＜0时，结果为___
2、的倒数是___相反数是___
3、的有理化因式是___
4、如果，则x
5、化简。6、若a＞0，则a的算术平方根的倒数是___
7、若是无理数，则其倒数是___
8、的值为___或___
9、的平方根的倒数为___
10、选择题：
1）．当a＞0，b＜0时，下列各式中，正确的是（ ）
a．①和④ b．③ c．④ d．⑤
2）．将分母有理化正确的是（ ）
ab． cd．
3）．化简（x＞0）的结果是（ ）
ab． cd．
4）．等式成立的条件为（ ）
a．a≥0，b≥0 b．a≥0，b＞0 c．a≤0，b≤0 d．a≤0，b＜0
5）．若成立，则有（ ）
a．y≤0，x≠0b．y≤0，x为任意实数。
c．y＜0，xd．y≥0，x≠0
11、化去根号内的分母（字母表示正数）．
4．（x＞y＞056．（x＞3）
总结：乘除法运算一般步骤（1）运用法则，化归为根号内的运算；（2）完成根号内的相乘、除（约分）运算；（3）化简二次根式。
总结解决此类问题的一般步骤：①应用性质，化归为根号内的实数运算；②完成根号内的乘除运算（一般要化得简单）；③化简二次根式。
类型之三。1.计算：
2.计算；3.下列计算哪些正确，哪些不正确？并适当地说明理由：
二次根式的四则混合运算中：
能化简的先化简；
当化简后被开方数相同时可象合并同类项那样合并；
在二次根式的运算中要注意运用乘法公式和乘法法则，使运算简便。
类型之四。3）已知，，求的值．
4）设a、b、c是实数，若a+b+c=2＋4＋6－14，求a(b+c)+b(c+a)+c(a+b)的值。
本题型主要是先化简后求值的方式进行。
1. 4综合应用。
类型之一。1. 已知实数满足，求的值．
2.若是实数，且，化简。
3.在△abc中，a、b、c是三角形的三边，化简－2|c－a－b|
4.已知：，化简：
5.若，求的值。
6. 若，求的值．
类型之二。1.如图，池塘边有两点a、b，点c是与ba方向成直角的ac方向上的一点，现测得cb＝60m，ac＝20m。请你求出a、b两点间的距离。
2.如图所示，有一边长为8米的正方形大厅，它的地面是由黑白完全相同的方砖密铺而成。求一块方砖的边长．
3.如图，在平面直角坐标系中，a（3，-1），b（-2，-1）c（3，1）是三角形的。
三个顶点，求bc的长。
4. 根据据图所示的直角三角形、正方形和等边三角形的条件，求直角三角形的斜边长，正方形的边长，等边三角形的边长。
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