概率知识点及考点分析。
开封高中王国平(高中数学开封市高中数学二坊)
本章主要研究随机事件、互斥事件及概率的意义，并会计算互斥事件的概率；掌握古典概型、几何概型的概率计算。
一．知识点解读。
1．随机事件和确定事件。
1)在条件s下，一定会发生的事件叫做相对于条件s的必然事件．
2)在条件s下，一定不会发生的事件叫做相对于条件s的不可能事件．
3)必然事件与不可能事件统称为确定事件．
4)在条件s下可能发生也可能不发生的事件，叫做随机事件．
5)确定事件和随机事件统称为事件，一般用大写字母a，b，c…表示．
2．频率与概率。
1)在相同的条件s下重复n次试验，观察某一事件a是否出现，称n次试验中事件a出现的次数na为事件a出现的频数，称事件a出现的比例fn(a)＝为事件a出现的频率．
2)对于给定的随机事件a，如果随着试验次数的增加，事件a发生的频率fn(a)稳定在某个常数上，把这个常数记作p(a)，称为事件a的概率，简称为a的概率．
3．互斥事件与对立事件。
1)互斥事件：若a∩b为不可能事件(a∩b＝)，则称事件a与事件b互斥，其含义是：事件a与事件b在任何一次试验中不会同时发生．
2)对立事件：若a∩b为不可能事件，而a∪b为必然事件，那么事件a与事件b互为对立事件，其含义是：事件a与事件b在任何一次试验中有且仅有一个发生．
4．概率的几个基本性质。
1)概率的取值范围：0≤p(a)≤1.
2)必然事件的概率：p(a)＝1.
3)不可能事件的概率：p(a)＝0.
4)互斥事件的概率加法公式：①p(a∪b)＝p(a)＋p(b)(a，b互斥)．②p(a1∪a2∪…∪an)＝p(a1)＋p(a2)＋…p(an)(a1，a2，…，an彼此互斥)．
5)对立事件的概率：p()＝1－p(a)．
5．基本事件的特点。
1)任何两个基本事件是互斥的．
2)任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和．
6．古典概型。
具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型．(1)试验中所有可能出现的基本事件只有有限个．(2)每个基本事件出现的可能性相等．
7．古典概型的概率公式。
p(a)＝8．几何概型。
事件a理解为区域ω的某一子区域a，a的概率只与子区域a的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与a的位置和形状无关．满足以上条件的试验称为几何概型．
9．几何概型中，事件a的概率计算公式。
p(a)＝.
10．要切实理解并掌握几何概型试验的两个基本特点。
1)无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；
2)等可能性：每个结果的发生具有等可能性．
二．常考题型分析。
考点1.事件的关系与运算。
对互斥事件要把握住不能同时发生，而对于对立事件除不能同时发生外，其并事件应为必然事件，这些也可类比集合进行理解，具体应用时，可把所有试验结果写出来，看所求事件包含哪些试验结果，从而断定所给事件的关系．
例1．(2016·湖北十市联考)从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，那么互斥而不对立的两个事件是( )
a．“至少有一个黑球”与“都是黑球”
b．“至少有一个黑球”与“都是红球”
c．“至少有一个黑球”与“至少有一个红球”
d．“恰有一个黑球”与“恰有两个黑球”
解析：选d a中的两个事件是包含关系，不是互斥事件；b中的两个事件是对立事件；c中的两个事件都包含“一个黑球一个红球”的事件，不是互斥关系；d中的两个事件是互斥而不对立的关系．
跟踪训练1。(易错题)（2023年《三维设计》）在一次随机试验中，彼此互斥的事件a，b，c，d的概率分别为0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是( )
a．a∪b与c是互斥事件，也是对立事件。
b．b∪c与d是互斥事件，也是对立事件。
c．a∪c与b∪d是互斥事件，但不是对立事件。
d．a与b∪c∪d是互斥事件，也是对立事件。
解析：选d 由于a，b，c，d彼此互斥，且a∪b∪c∪d是一个必然事件，故其事件的关系可由如图所示的韦恩图表示，由图可知，任何一个事件与其余3个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．
考点2。随机事件的频率与概率。
频率是个不确定的数，在一定程度上频率可以反映事件发生的可能性大小，但无法从根本上刻画事件发生的可能性大小，但从大量重复试验中发现，随着试验次数的增多，事件发生的频率就会稳定于某一固定的值，该值就是概率．
例2．.(2023年高考新课标全国ⅱ，18)某险种的基本保费为a(单位：元)，继续购买该险种的投保人称为续保人，续保人本年度的保费与其上年度出险次数的关联如下：
随机调查了该险种的200名续保人在一年内的出险情况，得到如下统计表：
1)记a为事件：“一续保人本年度的保费不高于基本保费”.求p(a)的估计值；
2)记b为事件：“一续保人本年度的保费高于基本保费但不高于基本保费的160%”.求p(b)的估计值；
3)求续保人本年度的平均保费的估计值。
解 (1)事件a发生当且仅当一年内出险次数小于2，由所给数据知，一年内出险次数小于2的频率为＝0.55，故p(a)的估计值为0.55.
2)事件b发生当且仅当一年内出险次数大于1且小于4，由所给数据知，一年内出险次数大于1且小于4的频率为＝0.3，故p(b)的估计值为0.3.
3)由所给数据得。
调查的200名续保人的平均保费为0.85a×0.30＋a×0.
25＋1.25a×0.15＋1.
5a×0.15＋1.75a×0.
10＋2a×0.05＝1.192 5a.
因此，续保人本年度平均保费的估计值为1.192 5a.
跟踪训练2.(2016·合肥一模)某城市有连接8个小区a，b，c，d，e，f，g，h和市中心o的整齐方格形道路网，每个小方格均为正方形，如图所示．某人从道路网中随机地选择一条最短路径，由小区a前往小区h，则他经过市中心o的概率为( )
a． b．c． d．
解析：选b 由题意知，此人从小区a前往小区h的所有最短路径为：a→b→c→e→h，a→b→o→e→h，a→b→o→g→h，a→d→o→e→h，a→d→o→g→h，a→d→f→g→h，共6条．记“此人经过市中心o”为事件m，则m包含的基本事件为：
a→b→o→e→h，a→b→o→g→h，a→d→o→e→h，a→d→o→g→h，共4个，所以p(m)＝＝即他经过市中心o的概率为。
考点3.互斥事件、对立事件的概率。
1)判断两个事件是否为互斥事件，就是判断它们能否同时发生，若不能同时发生，则是互斥事件，不然就不是互斥事件．若两个事件互斥，且必有一个发生，则其为对立事件．两个事件互斥未必对立，但对立一定互斥．
2)互斥事件的概率加法公式必须在各个事件彼此互斥的前提下使用，即a，b互斥，p(a＋b)＝p(a)＋p(b)；a，b对立，p(a)＝1－p(b)．
例3．(2016·洛阳模拟)经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：
求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？
2)至少3人排队等候的概率是多少？
解：记“无人排队等候”为事件a，“1人排队等候”为事件b，“2人排队等候”为事件c，“3人排队等候”为事件d，“4人排队等候”为事件e，“5人及5人以上排队等候”为事件f，则事件a，b，c，d，e，f互斥．
1)记“至多2人排队等候”为事件g，则。
g＝a∪b∪c，所以p(g)＝p(a∪b∪c)
p(a)＋p(b)＋p(c)
2)法一：记“至少3人排队等候”为事件h，则。
h＝d∪e∪f，所以p(h)＝p(d∪e∪f)
p(d)＋p(e)＋p(f)
法二：记“至少3人排队等候”为事件h，则其对立事件为事件g，所以p(h)＝1－p(g)＝0.44.
跟踪训练3。（2015·湖北黄石二模)某商场有奖销售中，购满100元商品得1张奖券，多购多得。1 000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为a，b，c，求：
1)p(a)，p(b)，p(c)；
2)1张奖券的中奖概率；
3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率．
解：(1)p(a)＝，p(b)＝＝p(c)＝＝
故事件a，b，c的概率分别为，，.
2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖．
设“1张奖券中奖”为事件m，则。
m＝a∪b∪c.
a，b，c两两互斥，p(m)＝p(a∪b∪c)＝p(a)＋p(b)＋p(c)＝＝
故1张奖券的中奖概率为。
3)设“1张奖券不中特等奖且不中一等奖”为事件n，由对立事件概率公式得。
p(n)＝1－p(a∪b)
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为。
考点4。简单古典概型的求法。
求古典概型的概率时，应注意试验结果的有限性和所有结果的等可能性．
1)反复阅读题目，收集题目中的各种信息，理解题意；
2)判断试验是否为古典概型，并用字母表示所求事件；
3)利用列举法求出总的基本事件的个数n及事件a中包含的基本事件的个数m；
例4.(2016·新课标全国ⅰ，3)为美化环境，从红、黄、白、紫4种颜色的花中任选2种花种在一个花坛中，余下的2种花种在另一个花坛中，则红色和紫色的花不在同一花坛的概率是( )
a. b.
c. d.
解析将4种颜色的花种任选两种种在一个花坛中，余下2种种在另一个花坛，有((红黄)、(白紫))，白紫)、(红黄))，红白)、(黄紫))，黄紫)、(红白))，红紫)、(黄白))，黄白)、(红紫))共6种种法，其中红色和紫色不在一个花坛的种数有((红黄)、(白紫))，白紫)、(红黄))，红白)、(黄紫))，黄紫)，(红白))，共4种，故所求概率为p＝＝，选c.
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