四川省苍溪实验中学校周万勇。
递推数列的通项问题具有很强的逻辑性，是考查逻辑推理和转化、化归能力的好素材，因此也成为近几年高考的热点。常见题型与方法如下：
类型1 这种类型求的方法用累相加法。
例1、已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得。则。
所以。练习题1: 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：由得。则。
所以数列的通项公式为。
类型2 这种类型求的方法采用累乘法。
例2、数列满足， ,求的通项公式。
练习2:设数列各项均为正数的数列，，且满足：，则数列的通项公式为。
解：由已知得， ．
于是有，这个等式相乘得，由于，所以．
类型3 例3 在数列中，.
1）设，求数列的通项公式；
2）求数列的前项和。
解：：（i）由已知有，
利用累差迭加即可求出数列的通项公式：
ii）由（i）知，而，又应用错位相减法易得
练习题3: 已知数列满足，求数列的通项公式。
解：两边除以，
得， 则，故。
因此，则。则。
所以。类型4
这种类型一般主要利用待定系数法构造等比数列，即令， ,与已知递推式比较，得，即，从而化为是公比为的等比数列。也可以由一阶特征根方程得到。
例4 在数列中，若，，则该数列的通项。
解： 由一阶特征根方程得，是首项为，公比为2的等比数列，.
练习4、已知：，求。
解：设： 又，所以，即a=2
设。则：，由得，
即为以-1为首项且以为公比的等比数列，所以，所以。
类型5 这种类型一般利用与消去或与消去。
例5 已知正项数列，其前项和满足，且成等比数列，求数列的通项。
解。解之，得或。
又 得，即。
为正项数列， ，是公差为5的等差数列。
当时， ,但不成等比数列，与题意不符， ;
当时， ,且成等比数列，符合题意， .
练习题5：已知正项数列的前项和，，求的通项公式。（）
类型6 当时，一般利用待定系数法构造等比数列，即类型4；当p=q时，，将递推式两边同时除以，得，从而转化为是公差为的等差数列。
例6 设数列的前n项和， 1，2，3，……求数列的通项公式。
解：当n=1时，解之，得；
当n≥2时，，即。
设。即，与比较，得=1。，是公比为4的等比数列。且首项为，∴，故。
练习题6:已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设即，与比较，得x=－1， 所以。
由≠0得，则，则数列是以为首项，以2为公比的等比数列，则，故。
类型7 这种类型一般利用待定系数法构造等比数列。即令，与已知递推式比较，解出x , y ,从而转化为是公比为p的等比数列。
例7 已知数列中，，点在直线y=x上。其中n=1，2，3，……求数列的通项公式。
解：由已知，得，∴。
设，即，与比较，得，∴，y=2，是公比为的等比数列，，故。
类型8 这种类型一般是等式两边取倒数后转化为类型3或4。
例8 已知数列满足，且（n≥2），求数列的通项公式。
解：由已知，得，即（n≥2）.
设（n≥2）,则（n≥2）, 是公比为的等比数列，。
解之，得。类型9
这种类型一般利用构造等比数列来解决。
例9 已知在数列中，是其前n项和，并且，，求。
解： ①当时， ②
由 ①-得：， 即：
所以是以3为首项2为公比的等比数列。
所以， 所以。
所以是以为首项为公差的等差数列。
练习9：已知数列满足，求数列的通项公式。
解：设，则，
与已知等式比较，得，解之，得或。
不妨取，得，即是以为首项、2为公比的等比数列，……n≥2）;
以上类型还可以用特征方程根法：
设递推公式为其特征方程为，1． 若方程有两相异根、，则。
2． 若方程有两等根则其中、可由初始条件确定。
类型10 周期性。
例10 已知数列满足，则（ ）
a）0bcd)
解：∵，故事周期为3的周期数列，故。故选b。
类型11 或。
这种类型一般可转化为与时等差或等比数列求解。
例16（ⅰ）在数列中，，求。
ⅱ）在数列中，，求。
解：（ⅰ两式相减，得。
与均为公差为6的等差数列，易求得。
ⅱ）类似（ⅰ）的方法易求。
类型12 当特征方程有两个不同的根与时，则是等比数列；当特征方程有且只有一根时，则是等差数列。
例12 设数列满足（n≥1），求数列的通项公式。
简解：由已知，得，其特征方程为，解之，得或。，∴
练习题12：已知数列满足，求数列的通项公式。
解：令，得，则x=1是函数的不动点。
因为，所以，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列，则，故。
数列 常见题型归纳
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