一、 填空题（本题总计20分，每小题2分）
1. 排列7623451的逆序数是。
2. 若，则
4. 若为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是。
6. 设a为三阶可逆阵，，则。
7.若a为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。
二、选择题（本题总计10分，每小题2分）
2. 若a为三阶方阵，且，则(a)
三、计算题（本题总计60分。1-3每小题8分，4-7每小题9分）
1. 计算阶行列式 。
2．设a为三阶矩阵，为a的伴随矩阵，且，求。
3．求矩阵的逆。
4. 讨论为何值时，非齐次线性方程组。
有唯一解； ②有无穷多解； ③无解。
5. 求下非齐次线性方程组所对应的齐次线性方程组的基础解系和此方程组的通解。
6.已知向量组、、、求此向量组的一个最大无关组，并把其余向量用该最大无关组线性表示．
四、证明题（本题总计10分）
设为的一个解，为对应齐次线性方程组的基础解系，证明线性无关。
答案一）一、填空题（本题总计20分，每小题 2 分）
。.二、选择题（本题总计 10 分，每小题 2分 1、d；2、a；3、d；4、c；5、b
三、计算题（本题总计60分，1-3每小题8分，4-7他每小题9分）
1、 解3分。
6分。8分。
此题的方法不唯一，可以酌情给分。）
解：（1）--1分。
5分。（2）--8分。
3. 设a为三阶矩阵，为a的伴随矩阵，且，求。 因a＝，故 3分5分
8分。4、解： -3分。
6分。故---8分 （利用公式求得结果也正确。）
5、解； 3分。
（1）唯一解5分。
（2）无穷多解7分。
（3）无解9分 （利用其他方法求得结果也正确。）
6、解3分。
基础解系为 ， 6分。
令，得一特解： -7分故原方程组的通解为：
其中---9分（此题结果表示不唯一，只要正确可以给分。）
7、解：特征方程从而 (4分)
当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为 (7分)
当时，由得基础解系，即对应于的全部特征向量为
四、证明题（本题总计10 分）
证： 由为对应齐次线性方程组的基础解系，则线性无关。(3分)
反证法：设线性相关，则可由线性表示，即： (6分)
因齐次线性方程组解的线性组合还是齐次线性方程组解，故必是的解。这与已知条件为的一个解相矛盾。(9分). 有上可知，线性无关。(10分)
试卷二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题 2 分）
1. 排列6573412的逆序数是 ．
2.函数中的系数是 ．
3．设三阶方阵a的行列式，则= a/3 ．
6．三阶方阵a的特征值为1， ，2，则 ．
7. 设，则。
9．设a为n阶方阵，且2 则。
三、计算题（本题总计 60 分，每小题 10 分）
2．已知矩阵方程，求矩阵，其中。
3. 设阶方阵满足，证明可逆，并求。
5．求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示．
四、证明题（本题总计 10 分，每小题 10 分）
设， ,且向量组线性无关，证明向量组线性无关。
答案二)一、填空题（本题总计 20 分，每小题2 分）
1. 17 2. -2 3． 4． 5． 6．-27．或、
2．求解，其中。
解：由得。3分)
6分8分)所以10分)
3．解：利用由可得5分。
即 --7分故可逆且---10分。
解2分) 4分)则有6分)
取为自由未知量，令，则通解为8分)
对应齐次线性方程组的基础解系为10分)
5．求下列向量组的秩和一个最大无关组，并将其余向量用最大无关组线性表示．
解：2分) 为一个极大无关组。 (4分) 设。
解得8分) 则有。
四、证明题（本题总计 10分）若设且向量组线性无关，证明向量组线性无关。 证明：设存在，使得也即化简得
1）可由向量组线性表示；
2）不能由向量组线性表示。
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