高等代数考试常见题型。
三、求非退化的线性替换，使实二次型。
化为标准形，并求其正惯性指数，判断其是否正定．三、解：原二次型的矩阵对矩阵a作合同变换。
令（6分）原二次型的标准形为；正惯性指数为1 ；且不正定。（10分）七、设是欧氏空间的一组标准正交基，是上的对称变换，并且，求在基下的矩阵；求的特征值与特征向量；
求的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵．七、证明：①在基下的矩阵是； （5分）
解得特征值，对，解，其线性无关的特征向量为。
得属于的特征向量不全零，对，解，得属于的特征向量。
10分）令，则得标准正交基。
在此基下的矩阵是。 （15分）
四、求的一组基与维数．
四、解：取的一组基，则。
4分）故其基为，维数为2（10分）
七、设是欧氏空间的一组标准正交基，，并且，证明是上的对称变换；
求的特征值与特征向量；
求的一组标准正交基，使关于此基的矩阵为对角矩阵．①证明：关于标准正交基的矩阵是，因，所以是对称变换5分）解得特征值，对，解，得其线性无关的特征向量为。
对，解，得其特征向量； （5分）
令，则得标准正交基 ，关于此基的矩阵是。
八、设为正定矩阵，证明：也是正定矩阵．
八、证明：由为正定矩阵，则为实对称矩阵，的特征值全大于零，则，有可逆，， 从而有。
5分）则是实对称矩阵，其特征值也全大于零，故也是正定矩阵5分）六、设是数域，，令，证明；
②求关于基的矩阵．
六、证明：①，且惟一，故，则． （5分），所以关于的矩阵是5分）七、设是实数域，在欧氏空间中，，并且。
证明是上的对称变换；
求的特征值与特征向量；
求的一组标准正交基，使关于此基的矩阵为对角矩阵．七、①证明：关于的标准正交基的矩阵是，因，所以是对称变换5分）解：得特征值，对，解，得其线性无关的特征向量为。
对，解，得属于的特征向量； （5分）
令，则得标准正交基，关于此基的矩阵是． （5分）八、 设是通常的欧氏空间，证明：
是的一组标准正交基．
八、证由于是通常的欧氏空间，故。
5分）所以是的一组标准正交基．
五、证明与，，均为的基，并求基到基的过渡矩阵．五、证明：，5分），则与。
**性无关而为的基5分）
基到基的过渡矩阵=． 5分）
六、设为数域，，令。
证明是的线性变换，即；
求关于基的矩阵。
六、①证明：
令，，有。则5分），故关于的矩阵。
七、设是欧氏空间的一组标准正交基，，并且，证明是上的对称变换；
求的特征值与特征向量；
求的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵．七、证明：①关于标准正交基的矩阵是，因，所以是对称变换5分）解得特征值，对，解，基础解系，得其对应线性无关的特征向量为，对，解，基础解系，得属于的特征向量5分）
令，则得标准正交基，关于此基的矩阵是． （5分）五、设是实数域，中的两向量组。
证明：这两个向量组都是的基，并求第一基到第二基的过渡矩阵．五、解：由，5分）
而，故均是的基5分）
故所求矩阵．（5分）
六、设是数域，，令。
证明是的线性变换，即；
②求关于基的矩阵．
六、①证明：,令。
且惟一，故，则． （5分）
解：，所以关于的矩阵是5分）
八、设欧氏空间中的内积定义为。
证明：， 是的一组标准正交基．
八、证根据中的内积，有。
（5分）所以是的一组标准正交基．
八、设是实数域，（列空间），证明为正交矩阵．八、证明：由于。
故为正交矩阵。
七、设是实数域，在欧氏空间中，是上的对称变换，并且。
求在标准基下的矩阵；求的特征值与特征向量；
求的一组标准正交基，使在此基下的矩阵为对角矩阵．七、①证明：关于的标准基的矩阵是， （5分）解：得特征值，对，解，其线性无关的特征向量为。
得属于的特征向量不全零，对，解，得属于的特征向量。
10分）令，则得标准正交基，在此基下的矩阵是。
高等代数新题型综合
一 填空题 本题总计20分，每小题2分 1.排列7623451的逆序数是。2.若，则 4.若为矩阵，则非齐次线性方程组有唯一解的充分要条件是。6.设a为三阶可逆阵，则。7.若a为矩阵，则齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是。二 选择题 本题总计10分，每小题2分 2.若a为三阶方阵，且，则 a 三...
高等代数A卷 1
东北大学秦皇岛分校。课程名称 高等代数 二 试卷类型 a 考试形式 闭卷 授课专业 应数 信科 统计考试日期 2015年7月2日试卷 共3页。一 填空题 共30分，每题3分 1.级复对称矩阵有个合同类。2.为正定二次型，则满足 3.复数域作为自身上线性空间维数是 作为实数域上线性空间维数是。4 设矩...
年专升本《高等代数》试题
专升本 高等代数 试题。注 请将答案全部写在答题纸上。一。填空题 每小题2分，共20分 1.设是集合a到b的映射，对任意的，都存在，使得，就称映射为 2.设，则的充要条件是 3.设实系数多项式，且，则实数根的个数为 4.假设n阶行列式d中零元素的个数比n2 n 多，则d 5.个方程个未知数的线性方程...