宣武区高三年级第一学期期末练习数学 (文科2010.1
一、选择题：
1.设集合，，全集，则集合中的元素个数为（ ）
a．个 b．个 c．个 d．个。
2. “是“直线与直线互相垂直”的（ ）条件。
a．充分不必要 b．必要不充分 c．充分必要 d．既不充分也不必要。
3. 在区间上随机取一实数，则该实数在区间上的概率为（ ）
a． b． c． d．
4. 若函数是函数的反函数，则的值为（ ）
a． b． c． d．
5. 下列结论正确的是。
a． 使成立b．，都有成立。
c．函数是偶函数d． 时，函数无最大值。
6. 设为直线，为三个不同的平面，下列命题正确的是（ ）
a．若则b．②若则
c．若则d．④若则
7. 设斜率为的直线过抛物线的焦点f，且和轴交于点a，若△oaf (o为坐标原点)的面积为4，则实数的值为（ ）
abc． d．
8. 设函数，其中，则导数的取值范（ ）
abc． d．
二、填空题：
9. 若双曲线的离心率为，则 ；设为虚数单位，复数的运算结果为。
10. 已知非零向量满足：，且，则向量与向量的夹角。
11.长方体满足：，则其外接球的表面积为。
高三___班姓名___
12. 如果点p在不等式组所确定的平面区域内，为坐标原点，那么的最小值为。
13. 执行如图程序框图，若输出的值为3，则输入的值的集合是。
14. 如图所示，由若干个点组成形如三角形的图形，每条边（包括两个端点）有个点，
每个图形总的点数记为，则= ；
三、解答题：
15．（本小题共13分）已知的三个内角所对的边分别为，是锐角，且。
ⅰ）求的度数；（ⅱ若，的面积为，求的值。
宣武区高三年级第一学期期末练习数学 (文科2010.1
16．（本小题共13分）如图是正三棱柱，，,若为棱中点。
（ⅰ）求证：平面；
ⅱ）求四棱锥的体积。
17．（本小题共13分）某班50名学生在一次百米测试中，成绩全部都介于13秒到18秒之间，将测试结果按如下方式分成五组，第一组，第二组……第五组如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图。
ⅰ）若成绩大于等于14秒且小于16秒规定为良好，求该班在这次百米测试中成绩为良好的人数；
ⅱ）设表示该班两个学生的百米测试成绩，已知，求事件“”的概率。
18．（本小题共13分）已知二次函数的图象经过坐标原点，且满足，设函数，其中为常数且。
ⅰ）求函数的解析式；（ⅱ当时，判断函数的单调性并且说明理由．
高三___班姓名___
19.（本小题共14分）已知椭圆的焦点坐标为（），点在椭圆上．
ⅰ）求椭圆的方程；（ⅱ设，过点引直线与椭圆交于两点，求线段中点的轨迹方程；（ⅲ为坐标原点，⊙的任意一条切线与椭圆有两个交点，且，求⊙的半径．
20.（本小题共14分）已知函数，为正整数．
ⅰ）求和的值；（ⅱ若数列的通项公式为（），求数列的前项和；（ⅲ设数列满足：，，设，若（ⅱ）中的满足对任意不小于的正整数，恒成立，试求的最大值。
宣武区高三年级第一学期期末练习数学（文）2010．1
参***及评分标准
一、选择题（本大题共有8个小题，每小题5分，共40分；在每个小题给出的四个选项中有且仅有一个是符合题目要求的）
二、填空题：本大题共有6个小题，每小题5分，共30分；请把答案写在相应的位置上。
三、解答题：本大题共有6个小题，共80分；解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.（本题满分13分）
解：（ⅰ由正弦定理知：,是三角形内角，∴,从而有，∴=或，是锐角，∴的度数6分。
13分。16.（本题满分13分）
证明：（ⅰ连结和交于点，连．
是正三棱柱，为的中点。又为棱中点，在中， ,又，平面，∥平面6分。
ⅱ）∵是直角梯形，，∴四边形面积为，平面，∴四棱锥的体积为。……13分。
17．（本题满分13分）
解：（ⅰ根据直方图可知成绩在内的人数为：
人5分。ⅱ）成绩在的人数有：人，设为a ,b.
成绩在的人数有：人，设为a,b,c.
时有ab一种情况。时有ab,ac,bc三种情况。
分别在和时有aa，ab，ac，ba，bb，bc六种情况。
基本事件总数为10，事件“”由6个基本事件组成．
所以13分。
18．（本题满分13分）
解：（ⅰ设，的图象经过坐标原点，所以c=0.
即： a=1,b=06分。
ii) ∵函数的定义域为，令，，，在上恒成立，即在上恒成立。
∴当时，函数在定义域上单调递减13分。
19．（本题满分14分）
解： （椭圆e:（a,b>0）经过m（-2，） 一个焦点坐标为（）,椭圆e的方程为5分。
ⅱ）当直线的斜率存在时，设直线与椭圆e的两个交点为a（），b（），相交所得弦的中点，∴ 得，弦的斜率，四点共线，∴，即，经检验（0，0），（1，0）符合条件，线段中点的轨迹方程是10分。
ⅲ）当⊙的切线斜率存在时，设⊙的切线方程为，由得，设，则，∴，即，即，直线为⊙的一条切线，∴圆的半径，即，经检验，当⊙的切线斜率不存在时也成立1４分。
20．（本题满分14分）
解：（ⅰ1；
1；……分。
ⅱ）由（ⅰ）得，即。
由。得 ……
由①＋②得。10分。
对任意的。即。
∴数列是单调递增数列。
关于n递增。 当， 且时，.
.而为正整数，∴的最大值为6501４分。
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