问题情境：1）如图1，等边△abc，∠cab和∠cba的平分线交于点o，将顶角为120°的等腰三角形纸片（纸片足够大）的顶点与点o重合，已知oa=2，则图中重叠部分△oab的面积是 ．
**：2）在（1）的条件下，将纸片绕o点旋转至如图2所示位置，纸片两边分别与ab，ac交于点e，f，求图2中重叠部分的面积．
3）如图3，若∠abc=α（0°＜α90°），点o在∠abc的角平分线上，且bo=2，以o为顶点的等腰三角形纸片（纸片足够大）与∠abc的两边ab，ac分别交于点e、f，∠eof=180°﹣α直接写出重叠部分的面积．（用含α的式子表示）
2.（2015燕山一模）阅读下面材料：
小军遇到这样一个问题：如图1，△abc中，ab＝6，ac＝4，点d为bc的中点，求ad的取值范围．
小军发现老师讲过的“倍长中线法”可以解决这个问题．他的做法是：如图2，延长ad到e，使de＝ad，连接be，构造△bed≌△cad，经过推理和计算使问题得到解决．
请回答：ad的取值范围是。
参考小军思考问题的方法，解决问题：
如图3，△abc中，e为ab中点，p是ca延长线上一点，连接pe并延长交bc于点d．求证：pacd＝pcbd．
3.（2015平谷一模）阅读下面材料：
学习了三角形全等的判定方法（即“sas”、“asa”、“aas”、“sss”）和直角三角形全等的判定方法（即“hl”）后，小聪继续对“两个三角形满足两边和其中一边的对角对应相等”的情形进行研究．
小聪将命题用符号语言表示为：在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，∠b=∠e．
小聪想：要想解决问题，应该对∠b进行分类研究．
b可分为“直角、钝角、锐角”三种情况进行**．
第一种情况：当∠b是直角时，如图1，在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，b=∠e=90°，根据“hl”定理，可以知道。
rt△abc≌rt△def．
第二种情况：当∠b是锐角时，如图2，bc=ef，∠b=∠e<90°，在射线em上有点d，使df=ac，画出符合条件的点d，则△abc和△def的关系是 ；
a．全等 b．不全等 c．不一定全等。
第三种情况：当∠b是钝角时，如图3，在△abc和△def中，ac=df，bc=ef，b=∠e>90°，求证：△abc≌△def．
4.（2015通州一模）（1）请你根据下面画图要求，在图①中完成画图操作并填空．
如图①，△中，∠bac=30°，∠acb=90°，∠pam=∠a．
操作：（1）延长bc．
（2）将∠pam绕点a逆时针方向旋转60°后，射线am交bc的延长线于点d．
（3）过点d作dq//ab．
（4）∠pam旋转后，射线ap交dq于点g．
（5）连结bg．
结论。2）如图②，△中，ab=ac=1，∠bac=36°，进行如下操作：将△绕点a按逆时针方向旋转度角，并使各边长变为原来的n倍（n >1），得到△.
当点b、c、在同一条直线上，且四边形为平行四边形时（如图③），求和n的值．
5.（2015东城一模）在四边形中，对角线与交于点，是上任意一点，于点，交于点．
(1)如图1,若四边形是正方形，判断与的数量关系；
明明发现，与分别在和中，可以通过证明和全等，得到与的数量关系；
请回答：与的数量关系是。
(2) 如图2,若四边形是菱形， ,请参考明明思考问题的方法，求的值。
6.（2015房山一模）小明遇到这样一个问题：
如图1，在锐角△abc中，ad、be、cf分别为△abc的高，求证：∠afe=∠acb.
小明是这样思考问题的：如图2，以bc为直径做半⊙o，则点f、e在⊙o上，bfe+∠bce=180°，所以∠afe=∠acb.
请回答：若∠abc=，则∠aef的度数是。
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在锐角△abc中，ad、be、cf分别为△abc的高，求证：∠bdf=∠cde.
7.（2015海淀一模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在△abc中，de∥bc分别交ab于d，交ac于e．已知cd⊥be，cd=3，be=5，求bc+de的值．
小明发现，过点e作ef∥dc，交bc延长线于点f，构造△bef，经过推理和计算能够使问题得到解决（如图2）．
图1图2图3
请回答：bc+de的值为___
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，已知□abcd和矩形abef，ac与df交于点g，ac=bf=df，求∠agf的度数．
8.（2015门头沟一模）阅读下面材料：
小明遇到这样一个问题：如图1，在rt△abc中，∠acb=90°，∠a=60°，cd平分∠acb，试判断bc和ac、ad之间的数量关系．
小明发现，利用轴对称做一个变化，在bc上截取ca′=ca，连接da′，得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2）．
图1图2请回答：（1）在图2中，小明得到的全等三角形是。
2）bc和ac、ad之间的数量关系是。
参考小明思考问题的方法，解决问题：
如图3，在四边形abcd中，ac平分∠bad，bc=cd=10，ac=17，ad=9．
求ab的长．
9.（2015西城一模）阅读下面的材料：
如果α，β都为锐角，且tanα=，tanβ=，求α+β的度数．
小敏是这样解决问题的，如图1，把α，β放在正方形网格中，使得∠abd=α，cbe=β，且ba，bc在直线bd的两侧，连接ac，可证得△abc是等腰直角三角形，因此可求的α+βabc
请参考小敏思考问题的方法解决问题：
如果α，β都是锐角，当tanα=4，tanβ=时，在图2的正方形网格中，利用已作出的锐角α，画出∠mon=α-由此可得。
图1图210．（2015大兴一模）如图，在边长为1的正方形网格内，点a、b、c、d、e均在格点处。请你判断∠x+∠y的度数，并加以证明。
11.（2015朝阳一模）阅读下面材料：
小昊遇到这样一个问题：如图1，在△abc中，∠acb=90°，be是ac边上的中线，点d在bc边上，cd：bd=1：2，ad与be
相交于点p，求的值．
小昊发现，过点a作af∥bc，交be的延长线于点f，通过构造△aef，经过推理和。
计算能够使问题得到解决（如图2）．
请回答：的值为 ．
参考小昊思考问题的方法，解决问题：
如图 3，在△abc中，∠acb=90°，点d在bc的延长线上，ad与ac边上的中线be的延长线交于点p，dc：bc：ac=1：2：3 ．
1）求的值；
2）若cd=2，则bp= ．
12.（2015丰台一模）阅读下面的材料。
勾股定理神秘而美妙，它的证法多种多样，下面是教材中介绍。
的一种拼图证明勾股定理的方法。
先做四个全等的直角三角形，设它们的两条直角边分别为a,b，
斜边为c，然后按图1的方法将它们摆成正方形。
由图1可以得到，整理，得．
所以．如果把图1中的四个全等的直角三角形摆成图2所示的正方形，请
你参照上述证明勾股定理的方法，完成下面的填空：
由图2可以得到。
整理，得。所以。
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