牛吃草问题趣谈。
牛吃草问题是经典的奥数题型之一，这里我只介绍一些比较浅显的牛吃草问题，给大家开拓一下思维，首先，先介绍一下这类问题的背景，大家看知识要点。
知识要点。一、定义。
伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草3格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。
”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。
这类问题难在哪呢？大家看看它的特点。
二、特点。在“牛吃草”问题中，因为草每天都在生长，草的数量在不断变化，也就是说这类问题的工作总量是不固定的，一直在均匀变化。
难吗？难什么啊，一点都不难，只要掌握了方法，以后这样的题就都会了，来，看看这例题。
典例评析。例1 牧场上长满牧草，每天都匀速生长。这片牧场可供27头牛吃6天或23头牛吃9天。问可供21头牛吃几天？
分析】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：
原有的草与新长出的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。
从这道题我们看到，草每天在长，牛每天在吃，都是在变化的，但是也有不变的，都是什么不变啊？草是以匀速生长的，也就是说每天长的草是不变的；，同样，每天牛吃草的量也是不变的，对吧？这就是我们解题的关键。
这里因为未知数很多，我教大家一种巧妙的设未知数的方法，叫做设“1”法。我们设牛每天吃草的数量为1份，具体1份是多少我们不知道，也不用管它，设草每天增长的数量是a份，设原来的草的数量为b份，那么我们可以列方程了：27*6=b+6a；23*9=b+9a
思考1】一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？
15天．设1头牛1天吃的草为1份。则每天新生的草量是（20×10-24×6）÷
10-6)=14份，原来的草量是（24-14）×6=60份。可供18头牛吃60÷（18-14）=15天。
例2 因天气寒冷，牧场上的草不仅不生长，反而每天以均匀的速度在减少。已知牧场上的草可供33头牛吃5天，可供24头牛吃6天，照此计算，这个牧场可供多少头牛吃10天？
分析】与例1不同的是，不但没有新长出的草，而且原有的草还在匀速减少，但是，我们同样可以用类似的方法求出每天减少的草量和原来的草的总量。
思考2】由于天气逐渐变冷，牧场上的草每天以固定的速度在减少，经计算，牧场上的草可供20头牛吃5天，或可供16头牛吃6天。那么，可供11头牛吃几天？
8天，设一头牛一天吃的草量为一份。牧场每天减少的草量：（20×5-16×6）÷（6-5）=4份，原来的草量：
（20+4）× 5=120份，可供11头牛吃120÷(11+4)=8天。
总结：想办法从变化中找到不变的量。牧场上原有的草是不变的，新长出的草虽然在变化，但是因为是匀速生长，所以每天新长出的草量也是不变的。
正确计算草地上原有的草及每天新长出的草，问题就会迎刃而解。
知识衍变。牛吃草基本问题就先介绍到这，希望大家掌握这种方法，以后出现样吃草问题，驴吃草问题也知道怎么做，甚至，以下这些问题都可以应用牛吃草问题解决方法。
例3 自动扶梯以均匀速度由下往上行驶，小明和小丽从扶梯上楼，已知小明每分钟走25级台阶，小丽每分钟走20级台阶，结果小明用了5分钟，小丽用了6分钟分别到达楼上。该扶梯共有多少级台阶？
分析】在这道题中，“总的草量”变成了“扶梯的台阶总级数”，“草”变成了“台阶”，“牛”变成了“速度”,所以也可以看成是“牛吃草”问题来解答。
思考3】两只蜗牛同时从一口井的井顶爬向井底。白天往下爬，两只蜗牛的爬行速度是不同的，一只每天爬行20分米，另一只每天爬行15分米。黑夜往下滑，两只蜗牛滑行的速度却是相同的，结果一只蜗牛恰好用了5个昼夜到达井底，另一只恰好用了6个昼夜到达井底。
那么，井深多少米？
大家说这里什么是牛？什么是草？都什么是不变的？
15米。蜗牛每夜下降：（20×5-15×6）÷（6-5）=10分米。
所以井深：（20+10）×5=150分米=15米。
例4 一条船有一个漏洞，水以均匀的速度漏进船内，待发现时船舱内已进了一些水。如果用12人舀水，3小时舀完。如果只有5个人舀水，要10小时才能舀完。
现在要想在2小时舀完，需要多少人？
分析】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键。
思考4】一个水池，池底有泉水不断涌出，用10部抽水机20小时可以把水抽干，用15部相同的抽水机10小时可把水抽干。那么用25部这样的抽水机多少小时可以把水抽干？
5小时。设一台抽水机一小时抽水一份。则每小时涌出的水量是：
（20×10-15×10）÷(20-10)=5份，池内原有的水是：（10-5）×20=100份。所以，用25部抽水机需要：
100÷(25-5)=5小时。
思维拓展。例5 有一牧场长满牧草，牧草每天匀速生长，这个牧场可供17头牛吃30天，可供19头牛吃24天，现在有若干头牛在吃草，6天后，4头牛死亡，余下的牛吃了2天将草吃完，问原来有牛多少头？
分析】“牛吃草”问题的特点是随时间的增长，所研究的量也等量地增加。解答时，要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。
思考5】一个牧场上的青草每天都匀速生长。这片青草可供27头牛吃6天，或供23头牛吃9天，现有一群牛吃了4天后卖掉2头，余下的牛又吃了4天将草吃完。这群牛原来有多少头？
25头。设每头牛每天的吃草量为1份。每天新生的草量为：
（23×9-27×6）÷（20-10）=15份，原有的草量为（27-15）×6=72份。如两头牛不卖掉，这群牛在4+4=8天内吃草量72+15×8+2×4=200份。所以这群牛原来有200÷8=25头。
例6 有三块草地，面积分别为5公顷，6公顷和8公顷。每块地每公顷的草量相同而且长的一样快，第一块草地可供11头牛吃10天，第二块草地可供12头牛吃14天。第三块草地可供19头牛吃多少天？
分析】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要将这三块草地的面积统一起来。
巩固练习。1.一块牧场长满了草，每天均匀生长。这块牧场的草可供10头牛吃40天，供15头牛吃20天。可供25头牛吃＿＿天。
a. 10 b. 5 c. 20
a 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为：(10×40-15×20)÷（40-20）=5（份）。
那么愿草量为：10×40-40×5=200（份），安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃：200÷（25-5）=10（天）。
2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地的草吃光，需要＿＿只羊。
a. 22 b. 23 c. 24
b假设1只羊1天吃草的量为1份。每天新生草量是：（14×10-20×5）÷（10-5）=8（份）原草量是：
20×5-8×5＝60（份）安排8只羊专门吃每天新长出来的草，4天时间吃光这块草地共需羊：60÷4+8＝23（只）
3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一个观众到达的时间是8点＿＿分。
a. 10 b. 12 c. 15
c假设每个人口每分钟进入的观众量是1份。
每分钟来的观众人数为（3×9-5×5）÷（9-5）=0.5（份）
到9时止，已来的观众人数为：3×9-0.5×9＝22.5（份）
第一个观众来到时比9时提前了：22.5÷0.5＝45（分）
所以第一个观众到达的时间是9时-45分=8时15分。
4. 经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，地球最多只能养活亿人。
70 设1亿人1年所消耗的资源为1份。
那么地球上每年新生成的资源量为：（80×300-100×100）÷（300-100）=70（份）
只有当地球每年新生资源不少于消耗点的资源时，地球上的资源才不至于逐渐减少，才能满足人类不断发展的需要。所以地球最多只能养活：70÷1=70（亿人）
5. 快、中、慢三车同时从a地出发，追赶一辆正在行驶的自行车。三车的速度分别是每小时24千米、20千米、19千米。
快车追上自行车用了6小时，中车追上自行车用了10小时，慢车追上自行车用小时。
12 自行车的速度是：（20×10-24×6）÷（10-6）=14（千米/小时）
三车出发时自行车距a地：（24-14）×6==60（千米）
慢车追上自行车所用的时间为：60÷（19-14）=12（小时）
6. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，（ 小时可将可将水池中的水抽干。
18 设1根抽水管每小时抽水量为1份。
1）进水管每小时卸货量是：（21×8-24×6）÷（8-6）=12（份）
2）水池中原有的水量为：21×8-12×8＝72（份）
3）16根抽水管，要将水池中的水全部抽干需：72÷（16-12）=18（小时）
7. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽车是（ ）辆。
六年级奥数 牛吃草问题 教师讲义
a.10 b.5 c.20 答案 a 假设1头牛1天吃草的量为1份。每天新生的草量为 10 40 15 20 40 20 5 份 那么愿草量为 10 40 40 5 200 份 安排5头牛专门吃每天新长出来的草，这块牧场可供25头牛吃 200 25 5 10 天 2 一个牧场长满青草，牛在吃草而草又...
六年级奥数讲义 第5讲牛吃草问题
牛吃草问题的由来。运用算术解法和方程解法解决牛吃草问题。大科学家牛顿在他著的 普通算术 一书中曾提出了一个有趣的数学问题 12头牛4周吃草格尔 格尔 面积单位 同样的牧草21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草，多少头牛18周吃完？类似上面的这个问题被人们称作为 牛顿问题 也称 牛吃草 问题。本讲我们...
六年级奥数题 牛吃草问题
精品文档。六年级奥数题 牛吃草问题。试题 有三块草地，面积分别是5，15，24亩。草地上的草一样厚，而且长得一样快。第一块草地可供10头牛吃30天，第二块草地可供28头牛吃45天，问第三块地可供多少头牛吃80天？解析 这是一道牛吃草问题，是比较复杂的牛吃草问题。把每头牛每天吃的草看作1份。因为第一块...