六年级奥数简单枚举法教师讲义

发布 2020-08-23 05:21:28 阅读 3845

简单枚举法。

一个问题中,如果有优先的几种可能的情况,往往需要将这些可能的情况全部列举出来,逐个进行讨论。这种方法就称为枚举(或穷举)

枚举时,应注意考虑要全面,不要遗漏。

枚举时,还应注意如下分类,分类的标准不同,情况也不一定相同,讨论的过程也会有差异。

例1 从1~50这50个自然数中选取两个数字,使它们的和大于50,共有多少种不同的取法?

分析】取法有很多,找到规律使数法简单且不重复不遗漏是解题的关键。

解若两数中较大的是50,则另一个可以取1,2,3,…,49,共49种取法;

若两数中较大的是49,则另一个可以取1,2,3,…,48,共47种取法;

若两数中较大的是48,则另一个可以取1,2,3,…,47,共45种取法;

若两数中较大的是26,则另一个只能取25,共1种取法。

因此共有1+3+5+…+47+49=625种取法。

说明在运用枚举法时,一定要找出问题的本质,按照一定的规律去设计枚举的形式。

思考1】从1~50这50个自然数中选取两个数字,使它们的和不大于50,共有多少种不同的取法。

600种。 取法共有2+4+6+……46+48=600.

例2 求证:若整数n不是5的倍数,则n2也不是5的倍数。

分析】不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类,按4类来讨论。

证明不是5的倍数的数可以除以5的余数分为4类,设为5kkkk+4(k为整数),1 n=5k+1时,n2=5(5k2+2k)+1,不是5的倍数;

2 n=5k+2时,n2=5(5k2+4k)+4,不是5的倍数;

3 n=5k+3时,n2=5(5k2+6k+1)+4,不是5的倍数;

4 n=5k+4时,n2=5(5k2+8k+3)+1,不是5的倍数。

若整数n不是5的倍数,则n2不是5的倍数。

说明本题体现了在枚举法里常见的思路:分类考查,要注意分类的科学性。

思考2】除以4余1的两位数共有几个?

22个。令这样的数为4k+1(k为整数),只要令其值在10到99之间就可以了。则k=3,4,5…23,24。共22个。

例3 今有一角币1张、贰角币1张、伍角币1张、一元币4张、五元币2张这些纸币任意付款,可以付出多少种不同数额的款?

分析】本题如直接枚举,情况复杂,很难求出正确答案。我们可以先考虑付款的数额范围,在此范围内,再考虑那些不能构成的付款数额,将其剔除。

由题意,付款的最小数额为1角,最大数额为14.8元。其间1角的整数倍共有148种款额。

另一方面,4角、9角,这两种数额是这些钱币无法付出的,所以1.4元、1.9元、2.

4元、2.9元、3.4元、3.

9元.4元,这些数额也无法付出。上述这些付不出的数额共29种,应剔除。

所以能付出的数额应是148-29=119(种)。

说明本题采用逆向思维,把本来比较复杂的正面枚举改为较简单的反面枚举。这是我们做题时的常见的策略。

思考4】把4位数x先四舍五入到十位,所得之数再四舍五入到百位,所得之数再四舍五入到千位,恰好得到2000,则x的最小值和最大值是多少?

最小值是1445,最大值是2444. 可以倒过来想,要是x最小,千位必为1,百位为4,十位为4,各位最小为5即可。同理可以退出最大值。

巩固练习。1.由若干个小正方体堆成大正方体,其表面涂成红色,在所有小正方体中,三面被涂红的有a个,两面被涂红的有b个,一面被涂红的有c个。那么啊a,b,c三个数中。

a. a最大 b. b最大 c. c最大 d.哪个最大与小正方体的个数有关。

d 通过举例观察,可以发现构成大正方体的小正方体的个数影响最后结论。

六支球队进行单循环赛,当比赛进行到某一天时,统计出a、b、c、d、e五队已分别比赛了场,由此可知,还没有与b队比赛的球队是。

a. c队 b. d队 c. e队 d. f队。

c 由于是单循环赛,所以每个队至多赛5场。a队已经完成了5场,则每个队均与a队比赛过。e队仅赛一场(即与a赛过),所以e队没有与b队赛过。

3.写自然数,一共写了__个0

a. 90 b. 171 c. 189 d. 192

d 分类如下:仅各位是0的数共含90个0,仅十位是0的数共含81个0,个位、十位同时是0的共含18个0,个、十、百位同时是0的(仅1000)共含3个0,所以一共有90+81+18+3=192个0

4.已知x,y都有整数,且xy=6,那么适合等式的解共有__8__组。

5.从1到10这十个自然数中每次取出两个,其和要大于10,共有_25__种不同取法。

6.如图是街道的一部分,纵横各有5条路,如果从a到b(只能从北向南,从西向东)有__70__种走法。

7. 现在有足够数量的1角、5角及1元的硬币若干,如果想用这些硬币组成价值为20元的面额,那么一共有多少种不同的组合方法?

若全用1元的,共需20个1元硬币,这时只有1种组合方法;

若用19个1元硬币,则还需2个5角硬币或者1个5角与5个1角的硬币,或10个1角的硬币,这时共有3种组合方法;

若用18个1元硬币,则还需4个5角硬币或者3个5角与5个1角的硬币,或2个5角的硬币与10个1角的硬币,或1个5角的硬币与15个1角的硬币,或20个1角的硬币,这时共有5种组合方法;

依次类推,若用17个1元硬币,则有7种组合方法;

若用1个1元的硬币,则有39种组合方法;

若不用1元硬币,则有41种组合方法。

于是,共有1+3+5+…+39+41=441种不同的组合方法。

8.一本数学辅导书的序言共有3页,目录共有2页,随后的正文若干页。这本书在编页码时是将序言、目录和正文分别进行编码的。如果我们知道这本书在编码时一共使用了1355个字码。

那么这本书一共有多少页?

我们知道,一页的编码是一位数时,编码时只用一个字码;当一页的编码是两位数时,每页用两个字码;当一页的编码是三位数时,每页则用三个字码。因此,设这本书正文有x页,可得方程:3+2+9×1+90×2+(x-99)×3=1355,解得x=486。

即正文有486页,所以这本书一共有491页。

六年级奥数简单枚举法教师讲义

专题二简单枚举法。知识要点。一个问题中,如果有优先的几种可能的情况,往往需要将这些可能的情况全部列举出来,逐个进行讨论。这种方法就称为枚举 或穷举 枚举时,应注意考虑要全面,不要遗漏。枚举时,还应注意如下分类,分类的标准不同,情况也不一定相同,讨论的过程也会有差异。典例评析。例1 从1 50这50个...

三年级奥数 简单枚举

专题简析 枚举是一种常见的分析问题 解决问题的方法。一般地,要根据问题要求,一一列举问题解答。运用枚举法解应用题时,必须注意无重复 无遗漏,因此必须有次序 有规律地进行枚举。运用枚举法解题的关键是要正确分类,要注意以下两点 一是分类要全,不能造成遗漏 二是枚举要清,要将每一个符合条件的对象都列举出来...

三年级奥数 简单枚举

三年级奥数训练 简单枚举。姓名。思维训练 运用枚举法解应用题时,必须注意无重复 无遗漏,因此必须有次序 有规律地进行枚举。关键是要正确分类,注意一下两点 一是分类要齐全,不能造成遗漏 二是枚举要清楚,要将每一个符合条件的对象都列举出来。经典例题 例题1 从小华家到学校有3条路可走,从学校到文峰公园有...