六年级工程问题

工程问题是小学数学应用题教学中的重点，是分数应用题的引申与补充，是培养学生抽象逻辑思维能力的重要工具。工程问题是把工作总量看成单位“1”的应用题，它具有抽象性，学生认知起来比较困难。在教学中，让学生建立正确概念是解决工程应用题的关键。

一．工程问题的基本概念。

定义：工程问题是指用分数来解答有关工作总量、工作时间和工作效率之间相互关系的问题。

工作总量：一般抽象成单位“1”

工作效率：单位时间内完成的工作量。

三个基本公式：工作总量=工作效率×工作时间，工作效率=工作总量÷工作时间，工作时间=工作总量÷工作效率；

模块。一、工程问题基本题型。

例 1】（难度等级 ※）一项工程，甲单独做需要天时间，乙单独做需要天时间，如果甲、乙合作需要多少时间？

1【解析】将整个工程的工作量看作“1”个单位，那么甲每天完成总量的，乙每天完成总量的，两人合作每天能完成总量的，所以两人合作的话，需要天能够完成．

例 2】（难度等级 ※※甲、乙两人共同加工一批零件，8小时可以完成任务．如果甲单独加工，便需要12小时完成．现在甲、乙两人共同生产了小时后，甲被调出做其他工作，由乙继续生产了420个零件才完成任务．问乙一共加工零件多少个？

1【解析】乙单独加工，每小时加工甲调出后，剩下工作乙需做时所以乙每小时加工零件(个)，则小时加工(个)，所以乙一共加工零件420+60＝480

例 3】（难度等级 ※※一池水，甲、乙两管同时开，5小时灌满；乙、丙两管同时开，4小时灌满．现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时才能灌满．乙单独开几小时可以灌满？

1【解析】由于甲、乙和乙、丙的工作效率之和都知道了，根据“现在先开乙管6小时，还需甲、丙两管同时开2小时灌满”，我们可以把乙管的6小时分成3个2小时，第一个2小时和甲同时开，第二个2小时和丙同时开，第三个2小时乙管单独开．这样就变成了甲、乙同时开2小时，乙、丙同时开2小时，乙单独开2小时，正好灌满一池水．可以计算出乙单独灌水的工作量为，所以乙的工作效率为：，所以整池水由乙管单独灌水，需要（小时）．

例 4】（难度等级 ※※一个蓄水池，每分钟流入4立方米水。如果打开5个水龙头，2小时半就把水池水放空，如果打开8个水龙头，1小时半就把水池水放空。现在打开13个水龙头，问要多少时间才能把水放空？

1【解析】先计算1个水龙头每分钟放出水量。2小时半比1小时半多60分钟，多流入水4 × 60= 240（立方米）.时间都用分钟作单位，1个水龙头每分钟放水量是240 ÷ 5× 150- 8 × 90）= 8（立方米），8个水龙头1个半小时放出的水量是8 × 8 × 90，其中 90分钟内流入水量是 4 × 90，因此原来水池中存有水 8 × 8 × 90-4 × 90= 5400（立方米）.

打开13个水龙头每分钟可以放出水8×13，除去每分钟流入4，其余将放出原存的水，放空原存的5400，需要5400 ÷（8 × 13- 4）=54（分钟）.所以打开13个龙头，放空水池要54分钟。水池中的水，有两部分，原存有水与新流入的水，就需要分开考虑，解本题的关键是先求出池中原存有的水。

这在题目中却是隐含着的。

例 5】（难度等级 ※※有10根大小相同的进水管给、两个水池注水，原计划用4根进水管给水池注水，其余6根给水池注水，那么5小时可同时注满．因为发现水池以一定的速度漏水，所以改为各用5根进水管给水池注水，结果也是同时注满．(1)如果用10根进水管给漏水的水池注水，需要多少分钟注满？(2)如果增加4根同样的进水管，水池仍然漏水，并且要求在注水过程中每个水池的进水管的数量保持不变，那么要把两个水池注满最少需要多少分钟？(结果四舍五入到个位)

1【解析】设每只进水管的工效为“1”，那么a池容量为4×5=20，b池容量为6×5=30．当用5根进水管给b池灌水时需30÷5=6小时，而在6小时内5只其水管给a池也是灌有30的水，所以漏了30—20=10，因此漏水的工效为(1)用10根进水管给漏水的a池灌水，那么需 (2)设a池需根，那么b池需14根，有所以有化简解得所以a池用7根或6根进水管，此时对应所需时间，分别为：

当a池用7根进水管时：a：7根水管，需时间小时=225分钟；b：7根水管，需时间小时257分钟．此时要把两个水池注满最少需要257分钟；

当a池用6根进水管时：a：6根水管，需时间小时277分钟；b：

8根水管，需时间30÷8=小时=225分钟．此时要把两个水池注满最少需要277分钟．所以，要把两个水管都注满，最少需257分钟，7根水管注a池，7根水管注b池．

例 6】（难度等级 ※※2024年十三分小升初入学测试题）一项工程，甲单独做40天完成，乙单独做60天完成．现在两人合作，中间甲因病休息了若干天，所以经过了27天才完成．问甲休息了几天？

1【解析】法一：在整个过程中，乙没有休息，所以乙一共干了60天，完成了全部工程的，还有是甲做的，所以甲干了（天），休息了（天）．

法二：假设中间甲没有休息，则两人合作27天，应完成全部工程的，超过了单位“1”的，则甲休息了（天）．

巩固】（难度等级 ※※一项工程，甲单独做天完成，乙单独做天完成．甲、乙合作了几天后，乙因事请假，甲继续做，从开工到完成任务共用了天．乙请假多少天？

2【解析】法一：甲一共干了天，完成了全部工程的，还有是乙做的，所以乙干了(天)，休息了(天)，请假天数为： (天)．

法二：假设乙没有请假，则两人合作天，应完成全部工程的，超过了单位“1”的，则乙请假(天)．

例 7】（难度等级 ※※2024年十一学校考题)有一项工程，甲单独做需要36天完成，乙单独做需要30天完成，丙单独做需要48天完成．现在由甲、乙、丙三人同时做，在工作期间，丙休息了整数天，而甲和乙一直工作至完成，最后完成这项工程也用了整数天．那么丙休息了天．

1【解析】设甲、乙工作了天，丙工作了天，则有：，化简得．由于和720都是15的倍数，所以也是15的倍数，而，所以，，所以丙休息了天．

例 8】（难度等级 ※※一件工作，甲独做要12天，乙独做要18天，丙独做要24天。这件工作由甲先做了若干天，然后由乙接着做，乙做的天数是甲做的天数的3倍，再由丙接着做，丙做的天数是乙做的天数的2倍，终于做完了这件工作。问总共用了多少天？

1【解析】解法一：甲做1天，乙就做3天，丙就做3×2=6（天），甲做1天，完成工作量的，乙就完成工作量的，丙就完成工作量的。共完成。

天说明甲做了2天，乙做了6天，丙做了12天，三人共做了20天，完成这项工作用了20天。

解法二：本题整数化会带来计算上的方便。12，18，24这三数有一个易求出的最小公倍数72.

可设全部工作量为72.甲每天完成6，乙每天完成4，丙每天完成3.总共用了天。

模块。二、工程问题——变速问题。

例 9】（难度等级 ※※甲、乙两个工程队修路，最终按工作量分配8400元工资．按两队原计划的工作效率，乙队应获5040元．实际上从第5天开始，甲队的工作效率提高了1倍，这样甲队最终可比原计划多获得960元．那么两队原计划完成修路任务要多少天？

1【解析】开始时甲队拿到元，甲、乙的工资比等于甲、乙的工效比，即为；甲提高工效后，甲、乙总的工资及工效比为．设甲开始时的工效为“2”，那么乙的工效为“3”，设甲在提高工效后还需天才能完成任务．有，化简为，解得．工程总量为，所以原计划天完成．

例 10】（难度等级 ※※人大附中考题)甲、乙合作一件工程，由于配合得好，甲的工作效率比单独做时提高，乙的工作效率比单独做时提高．甲、乙两人合作小时，完成全部工作的，第二天乙又单独做了小时，还留下这件工作的尚未完成，如果这件工作始终由甲一人单独来做，需要多少小时？

1【解析】乙的工作效率是：，甲的工作效率是：，所以，单独由甲做需要： (小时)．

例 11】（难度等级 ※※2024年四中小升初入学测试题、2024年第七届“希望杯”六年级第2试）甲、乙两人合作清理400米环形跑道上的积雪，两人同时从同一地点背向而行各自进行工作，最初，甲清理的速度比乙快，中途乙曾用10分钟去换工具，而后工作效率比原来提高了一倍，结果从开始算起，经过1小时，就完成了清理积雪的工作，并且两人清理的跑道一样长，问乙换了工具后又工作了多少分钟？

1【解析】法一：直接求。

首先求出甲的工作效率，甲个小时完成了米的工作量，因此每分钟完成（米），开始的时候甲的速度比乙快，也就是说乙开始每分钟完成为（米），换工具之后，工作效率提高一倍，因此每分钟完成（米），问题就变成了，乙分钟扫完了米的雪，前若干分钟每分钟完成米，换工具之后的时间每分钟完成了米，求换工具之后的时间。这是一个鸡兔同笼类型的问题，我们假设乙一直都是每分钟扫米，那么分钟应该能扫（米），比实际少了（米），这是因为换工具后每分钟多扫了（米），因此换工具后的工作时间为（分钟）.

法二：其实这个问题当中的米是一个多余条件，我们只需要根据甲乙两人工作量相同和他们之间的工作效率之比就可以求出这个问题的答案。我们不妨设乙开始每分钟清理的量为，甲比他快，甲每分钟可以清理，分钟之后，甲一共清理了份的工作量，乙和他的工作总量相同，也是份，但是乙之前的工作效率为，换工具后的工作效率为，和（法一）相同的，利用鸡兔同笼的思想，可以得到乙换工具后工作了分钟。

例 12】（难度等级 ※※2024年十三分小升初入学测试题）甲、乙两人同时加工同样多的零件，甲每小时加工40个，当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个．这时乙开始提高工作效率，又用了小时完成了全部加工任务．这时甲还剩下20个零件没完成．求乙提高工效后每小时加工零件多少个？

1【解析】当甲完成任务的时，乙完成了任务的还差40个，这时乙比甲少完成40个；

当乙完成全部任务时，甲还剩下20个零件没完成，这时乙比甲多完成20个；

所以在后来的小时内，乙比甲多完成了个，那么乙比甲每小时多完成个．所以提高工效后乙每小时完成个．

例 13】（难度等级 ※※甲、乙两项工程分别由。

一、二队来完成．在晴天，一队完成甲工作要12天，二队完成乙工程要15天；在雨天，一队的工作效率要下降，二队的工作效率要下降．结果两队同时完成工作，问工作时间内下了多少天雨？

1【解析】在晴天，一队、二队的工作效率分别为和，一队比二队的工作效率高；在雨天，一队、二队的工作效率分别为和，二队的工作效率比一队高．由知，3个晴天5个雨天，两个队的工作进程相同，此时完成了工程的，所以在施工期间，共有6个晴天10个雨天．

方法二：本题可以用方程的方法，在方程解应用题中会继续出现。

例 14】（难度等级 ※※一项挖土万工程，如果甲队单独做，16天可以完成，乙队单独做要20天能完成．现在两队同时施工，工作效率提高20％．当工程完成时，突然遇到了地下水，影响了施工进度，使得每天少挖了47.25方土，结果共用了10天完成工程．问整工程要挖多少方土？

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