一、 单项选择题（本题共10小题，每小题2分，共20分）
1．【b】设`a=，b=，下列从a到b的关系中能构成函数的是。
a. b.
c. 2．【b】下列语句中为命题的是。
a．煤是白色的b. 今天的天气太好了！
c．全体起立d. 我正在说谎。
3．【b】在公式(x)(p(x，y)→q(x，z))∨z)r(x，z)中变元x是。
a．自由变元b．既是自由变元，又是约束变元。
c．约束变元 d．既不是自由变元，又不是约束变元。
4．【d?】设是群，|g|=4，则对于g中的元素不可能有。
a．一阶元素 b．二阶元素 c．三阶元素 d．四阶元素。
5．【a】设a=上的关系r=，则r具有。
a．反对称性和传递性b. 对称性和传递性。
c．反对称性和反自反性 d．对称性和自反性。
6．【b】下列说法正确的是。
a．整环一定是域b．链一定是分配格
c．相容关系一定是等价关系 d．群中一定有零元。
7．【c】设x=，y=，从x到y的关系共有多少个。
a．26个 b．63个 c．23个 d．32个。
8．【a】下表中哪个能使<，*成为独异点
abcd.9. 【c】若f，g是满射，则复合函数fg必是。
a．映射b．单射c．满射d．双射
10. 【a】下列图为强连通图的是。
二、 填空题 (本题共9小题，每空2分，共20分)
1. 设a＝｛1,2,3,4｝，a上的划分s=,,s所对应的等价关系为 s=,,则a的幂集为 ，循环群的运算表如下，其生成元是 c或d
6．关系是对称的，当且仅当在关系矩阵中以主对角线对称的元素相等 ，在关系图上任两个节点间若有定向圆弧，必是成对出现的。
7．代数系统，若满足是阿贝尔群，是半群，还满足运算·对运算+是可分配的 ，则是环。
8．在右图所示的有界格中，元素d的补元是___a
三、 计算题（本题共4小题，共20分）
1. 设a=，给定a上二元关系r=,求r(r),s(r),t(r)。（6分）
解：r(r)= r∪ia=
s(r)= r∪rc=
t(r)=2．求（┐p∨q）→r的主合取范式和主析取范式（6分）
解：主合取范式：
┐p∨q）→r=┐(p∨q) ∨r=(p∧┐q)∨r=(p∨q∨r)∧(p∨┐q∨r)∧(p∨┐q∨r)
主析取范式：
┐p∨q）→r=┐(p∨q) ∨r=(p∧┐q∧r)∨(p∧┐q∧┐r)∨(p∧q∧r)∨(p∧q∧r)∨(p∧┐q∧r)
3．画出下图g的补图。（4分）
4. 证明（0，1）与（0，1]等势。（4分）
解：设集合a=,a（0，1]
定义f: （0，1] →0，1）,使得。
f(1/n)=1/(n+1),对n≥1
f(x)=x,对x∈(0,1] —a
则f是双射函数，即（0，1）与（0，1]等势。
四、 应用题（本题共5小题，共40分）
1.设是格，那么，对任意的a,ba，证明a≤bab=a 。
证明：由a≤a和a≤b有a≤ab,但根据ab的定义应该有ab≤a，由反对称性有ab=a，故a≤b ab=a。
若ab=a，则a= ab≤b，故ab=a a≤b。综上所述a≤b ab=a。
2．a是18的因子集，r是a上的整除关系，求cov a，画出哈斯图，并写出子集。
2，3，6，9｝的极大元，极小元，最大元，最小元，上界，下界，上确界，下确界。（本题10分）
解：由题可知a=，则r=
cov a=
哈斯图为：3.设〈g，*〉是群，对任一a∈g，令h=，试证明〈h，*〉是〈g，*〉的子群。（8分）
证明：设x1,x2,x3∈h, 〈g，*〉的幺元是e，〈g，*〉的逆元为x-1。
则x1*（x2*a）= x1* a*x2= a*（x1* x2），故x1* x2∈h，运算*在h上是封闭的，因为x1,x2,x3∈g而〈g，*〉是群，故，x1* x2* x3= x1*（x2* x3），运算*在h上市可结合的，因为e*a= a*e，所以e∈h，〈h，*〉存在幺元，因为x*a=a*x，所以x-1 *(a *x) *x-1= x-1 *(x *a) *x-1
x-1 *a = a * x-1
所以x-1∈h。
综上所述，〈h，*〉是〈g，*〉的子群。
4．符号化命题并推证其结论。（10分）
任何人如果他喜欢步行，他就不喜欢乘汽车，每个人或者喜欢乘汽车或者喜欢骑自行车。有的人不爱骑自行车，因而有的人不爱步行。
解：设：p(x):x喜欢步行；
q(x):x喜欢乘汽车；
r(x):x喜欢骑自行车；
故假设与结论可符号化的表示为：
x)(p(x)→┐q(x)),x)(q(x)∨r(x)),x)┐r(x)(x)┐p(x)
证明：⑴(x)┐r(xp
┐r(ces(1)
(x)(q(x)∨r(x)) p
q(x)∨r(xus(3)
q(ct(2),(4)i
（x)(p(x)→┐q(x)) p
p(c)→┐q(cus(6)
┐p(ct(5),(7)i
(x)┐p(xeg(8)
5．设i为整数集，r=,证明r是等价关系。（6分）
证明：设任意a,b,c∈i.
1 a-a=k*0,所以∈r,2 若a≡b(mod k),则a-b=kt,有b-a=-kt,所以∈r,3 若a≡b(mod k)，b≡c(mod k),则a-b=kt,b-c=ks,有a-c=k(t+s),所以∈r.
综上所述，r是等价关系。
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