7．如果r1和r2是a上的自反关系，则r1∪r2，r1∩r2，r1-r2中自反关系有 2 个．
8．设a=上的二元关系为r=，则r的自反闭包为 ，b=，那么集合a到b的双射函数是<1, a >,2, b >}或上的二元关系r=，则。
1) r是自反的关系2) r是对称的关系．
1）错误。r不具有自反的关系，因为<3,3>不属于r。
2）错误。r不具有对称的关系，因为<2,1>不属于r。
2．如果r1和r2是a上的自反关系，判断结论：“r-11、r1∪r2、r1∩r2是自反的” 是否成立？并说明理由．
解：成立．因为r1和r2是a上的自反关系，即iar1，iar2。
由逆关系定义和iar1，得ia r1-1；
由iar1，iar2，得ia r1∪r2，ia r1r2。
所以，r1-1、r1∪r2、r1r2是自反的。
3．若偏序集的哈斯图如图一所示，则集合a的最大元为a，最小元不存在．
解：错误．集合a的最大元不存在，a是极大元．
4．设集合a=，b=，，判断下列关系f是否构成函数f：，并说明理由．
1) f=； 2)f=；
3) f=．
1）不构成函数。因为对于3属于a，在b中没有元素与之对应。
2）不构成函数。因为对于4属于a，在b中没有元素与之对应。
3）构成函数。因为a中任意一个元素都有a中唯一的元素相对应。
三、计算题。
1．设，求：
1) (ab)~c； (2) (ab)- ba) (3) p(a)－p(c)； 4) ab．
解： (1) (a∩b)∪~c=∪=
2) (a∪b)- b∩a)=-
3) p(a) =p(c)=,p(a)－p(c)=,
4) a⊕b= (a∪b)- b∩a)=
2．设a=,,1,2}，b=}，试计算。
1）（ab）； 2）（a∩b）； 3）a×b．
解：（1）ab =,
2）a∩b =,1>，<2>，<1>，<2>，,1,1>，<1,2>，<1, >2,1>，<2,2>,2, >
3．设a=，r=，s=，试求r，s，rs，sr，r-1，s-1，r(s)，s(r)．
解：r=s=空集 r*s=空集 s*r=空集
r-1=s-1 =空集。
r(s)=s(r)=
4．设a=，r是a上的整除关系，b=．
1) 写出关系r的表示式2 )画出关系r的哈斯图；
(3) 求出集合b的最大元、最小元．
1)r=3)集合b没有最大元，最小元是2
四、证明题。
1．试证明集合等式：a (bc)=(ab) (ac)．
1．证明：设，若x∈a (bc)，则x∈a或x∈bc，即 x∈a或x∈b 且 x∈a或x∈c．
即x∈ab 且 x∈ac ，即 x∈t=(ab) (ac)，所以a (bc) (ab) (ac)．
反之，若x∈(ab) (ac)，则x∈ab 且 x∈ac，即x∈a或x∈b 且 x∈a或x∈c，即x∈a或x∈bc，即x∈a (bc)，所以(ab) (ac) a (bc)．
因此．a (bc)=(ab) (ac)．
2．试证明集合等式a (bc)=(ab) (ac)．
2．证明：设s=a∩(b∪c)，t=(a∩b)∪(a∩c)， 若x∈s，则x∈a且x∈b∪c，即 x∈a且x∈b 或 x∈a且x∈c，也即x∈a∩b 或 x∈a∩c ，即 x∈t，所以st．
反之，若x∈t，则x∈a∩b 或 x∈a∩c，即x∈a且x∈b 或 x∈a且x∈c
也即x∈a且x∈b∪c，即x∈s，所以ts．
因此t=s．
3．对任意三个集合a, b和c，试证明：若ab = ac，且a，则b = c．
1） 对于任意∈a×b，其中a∈a，b∈b,因为a×b= a×c，必有∈a×c,其中b ∈c因此bc
2）同理，对于任意∈a×c,其中，a∈a，c∈c，因为a×b= a×c
必有∈a×b，其中c∈b，因此cb
有（1）（2）得b=c
4．试证明：若r与s是集合a上的自反关系，则r∩s也是集合a上的自反关系．
若r与s是集合a上的自反关系，则任意x∈a,＜x,x＞∈r,＜x,x＞∈s,从而＜x,x＞∈r∩s,注意x是a的任意元素，所以r∩s也是集合a上的自反关系．
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