集合恒等式与等价关系的判定。
一、集合运算跟我练习(每题10分,共20分)
1.设集合a=},b=, a, b },求ba,ab和a-b,ba.
解 ba=, a, b }}a, b }=b},
a-b=}-a, b }=
2.设a,b,c为任意集合,试证:(ab)c= a(bc).
证明设任意x(ab)c,那么xab或 xc ,也就是xa或xb或xc,由此得 xa或xbc,即 xa(bc
所以,(ab)c a (bc).
又因为对任意x a (bc ),由xa或 xbc
也就是xa或xb或xc;
得 xa∪b或xc,即(ab)c.
所以,a (bcab)c.
故 (ab)c= a(bc).
一、集合运算自我练习(每题15分,共30分)
3.设a=, 1, 2},b=, 1},求(ab),a×b和(a∪b)(a∩b).
ab=, 1, 2}-,1}=,2}
a×b=,a),(b),(1),(1,a),(1,b),(1,),1,1),(2,a),(2,b),(2,),2,1)}
a∪b)(a∩b)=,2, a, b, }
4.设a, b, c是三个任意集合,试证a (b c)=(a b) (a c).
证明:设,若x∈a (bc),则x∈a或x∈bc,即 x∈a或x∈b 且 x∈a或x∈c.
即x∈ab 且 x∈ac ,即 x∈t=(ab) (ac),所以a (bc) (ab) (ac).
反之,若x∈(ab) (ac),则x∈ab 且 x∈ac,即x∈a或x∈b 且 x∈a或x∈c,即x∈a或x∈bc,即x∈a (bc),所以(ab) (ac) a (bc).
因此.a (bc)=(ab) (ac).
二、关系性质与等价关系的判定(每题25分,共50分)
5.设集合a=上的二元关系。
r = s =,t = 判断r,s,t是否为a上自反的、对称的和传递的关系.并说明理由.
r为a上自反的关系。
s为a对称的关系。
t什么都不是。
6.设集合a = r,s是a上的二元关系,且。
r = s =
试判断r和s是否为a上的等价关系,并说明理由.
r不是(r不是自反关系)
s是(s是自反,对称,传递)
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