（5）公式类型为可满足式（方法如上例），最后一列至少有一个1
6）公式类型为永真式（方法如上例，最后一列全为1）。
第2次作业（p38）
2.3 用等值演算法判断下列公式的类型，对不是重言式的可满足式，再用真值表法求出成真赋值。
1) ﹁p∧q→q)
2)(p→(p∨q))∨p→r)
3)(p∨q)→(p∧r)
解：(1) ﹁p∧q→q) ﹁p∧q) ∨q) (p∧q) ∧qp∧(q ∧﹁q)
p∧0 0所以公式类型为矛盾式。
2)（p→(p∨q)）∨p→r) (p∨(p∨q))∨p∨r) ﹁p∨p∨q∨r1
所以公式类型为永真式。
3) (p∨q) →p∧r) ￢p∨q) ∨p∧r) (p∧￢q) ∨p∧r)
易见， 是可满足式， 但不是重言式。 成真赋值为： 000,001, 101, 111
p q r ￢p∧￢q p∧r (￢p∧￢q) ∨p∧r)
所以公式类型为可满足式。
2.4 用等值演算法证明下面等值式：
2) (p→q)∧(p→r) )p→(q∧r))
4)(p∧﹁q)∨(p∧q) (p∨q)∧﹁p∧q)
证明（2）(p→q)∧(p→r)
﹁p∨q)∧(p∨r)
p∨(q∧r))
p→(q∧r)
4）(p∧﹁q)∨(p∧q) (p∨(﹁p∧q)) q∨(﹁p∧q) )
(p∨﹁p)∧(p∨q)∧(q∨﹁p) ∧q∨q)
1∧(p∨q)∧ p∨﹁q)∧1
(p∨q)∧﹁p∧q)
第3次作业（p38）
2.5 求下列公式的主析取范式， 并求成真赋值：
1)( p→q) →q∨p)
2) (p→q) ∧q∧r
3)(p∨ (q∧r)) p∨q∨r)
4) ￢p→q) ∧q∧r
解：1)(￢p→q) →q∨p)
(p∨q) ∨q∨p)
p∧￢q ∨￢q ∨p
q ∨p (吸收律)
(￢p∨p)∧￢q ∨p∧(￢q∨q)
p∧￢q∨p∧￢q ∨p∧￢q ∨p∧q
m0∨m2∨m2∨m3
m0∨m2∨m3
成真赋值为 00, 10, 11.
2) (p→q) ∧q∧r
(p∨q) ∧q∧r
(p∧q∧r) ∨q∧r
(p∧q∧r) ∨p ∨p) ∧q∧r
p∧q∧r∨￢p ∧q∧r∨p∧q∧r
m3∨m7成真赋值为011，111.
3) (p∨(q∧r)) p∨q∨r)
(p∨(q∧r)) p∨q∨r)
p∧￢(q∧r) ∨p∨q∨r)
p∧(￢q∨￢r)∨(p∨q∨r)
p∧￢q∨￢p∧￢r∨p∨q∨r
p∧￢q∧(r∨￢r)∨￢p∧(q∨￢q)∧￢r∨p∧(q∨￢q) ∧r∨￢r)
(p∨￢p) ∧q∧(r∨￢r)∨(p∨￢p) ∧q∨￢q) ∧r
m0∨m1∨m2∨m3∨m4∨m5∨m6∨m7, 为重言式。
4) ￢p→q) ∧q∧r
(￢p∨q) ∧q∧r
(p∧￢q) ∧q∧r
p∧(￢q ∧q)∧r
主析取范式为0, 无成真赋值， 为矛盾式。
第4次作业（p38）
2.6 求下列公式的主合取范式， 并求成假赋值：
1) ￢q→￢p) ∧p
2)(p∧q) ∨p∨r)
3)(p→(p∨q)) r
解：1) ￢q→￢p) ∧p
(￢q∨￢p) ∧p
q∧p ∧￢pq∧0
m0∧m1∧m2∧m3
这是矛盾式。 成假赋值为 00, 01, 10, 11.
2)(p∧q) ∨p∨r)
p∧q) ∨p∨r
p∨￢p)∧(p ∨q)∨r
(￢p ∨q)∨r
￢p ∨q∨r
m4, 成假赋值为100.
3)(p→(p∨q)) r
￢p∨(p∨q)) r
￢p∨p)∨q ∨r
主合取范式为1, 为重言式。
第5次作业（p41）
2.32 用消解原理证明下述公式是矛盾式：
1) (p∨q) ∧p∨r) ∧q∨￢r) ∧p∨￢r) ∧r
2) ￢p∨q) ∧p→q)
解：1) (p∨q) ∧p∨r) ∧q∨￢r) ∧p∨￢r) ∧r
第一次循环 s0=φ,s1=｛￢p∨q,￢p∨r,￢q∨￢r,p∨￢r,r｝, s2=φ
由￢p∨r, p∨￢r消解得到λ
输出“no”，计算结束。
2) ￢p∨q) ∧p→q)
(￢(p∨q) ∧p) ∨q)
(p∨q) ∧p) ∧q
(p∨q) ∧p ∧￢q
第一次循环 s0=φ,s1=｛p∨q,￢p, ￢q｝, s2=φ
由p∨q,￢p消解得到q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束。
2.33 用消解法判断下述公式是否可满足的：
1) p∧ (p∨￢q) ∧q
2) (p∨q) ∧p∨￢q) ∧p∨ r)
解：1) p∧ (p∨￢q) ∧q
第一次循环 s0=φ,s1=｛p, ￢p∨￢q, q｝, s2=φ
由p, ￢p∨￢q消解得到￢q,由q, ￢q消解得到λ,输出“no”，计算结束。
2) (p∨q) ∧p∨￢q) ∧p∨ r)
第一次循环 s0=φ,s1=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, s2=φ
由p∨q, p∨￢q消解得到p,由p∨q, ￢p∨ r消解得到q ∨r,由p∨￢q, ￢p∨ r消解得到￢q ∨r,由p, ￢p∨ r消解得到r,s2=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝
第二次循环 s0=｛p∨q, p∨￢q, ￢p∨ r｝, s1=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, s2=φ
由p∨q, ￢q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由p∨￢q, q ∨r消解得到p∨r,由￢p∨ r, p 消解得到r,s2=｛p∨r｝
第三次循环 s0=｛p, q ∨r, ￢q ∨r, r｝, s1=｛p∨r｝, s2=φ
s2=φ输出“yes”，计算结束。
第6次作业（p52）
3.6 判断下面推理是否正确。 先将简单命题符号化， 再写出前提， 结论， 推理的形式结构(以蕴涵式的形式给。
出)和判断过程(至少给出两种判断方法):
1)若今天是星期一， 则明天是星期三；今天是星期一。 所以明天是星期三。
2)若今天是星期一， 则明天是星期二；明天是星期二。 所以今天是星期一。
3)若今天是星期一， 则明天是星期三；明天不是星期三。 所以今天不是星期一。
4)若今天是星期一， 则明天是星期二；今天不是星期一。 所以明天不是星期二。
5)若今天是星期一， 则明天是星期二或星期三。 今天是星期一。 所以明天是星期二。
6)今天是星期一当且仅当明天是星期三；今天不是星期一。 所以明天不是星期三。
设p: 今天是星期一， q: 明天是星期二， r: 明天是星期三。
1)推理的形式结构为。
p→r) ∧p→r
此形式结构为重言式， 即。
p→r) ∧pr
所以推理正确。
2)推理的形式结构为。
p→q) ∧q→p
此形式结构不是重言式， 故推理不正确。
3)推理形式结构为。
p→r) ∧r→￢p
此形式结构为重言式， 即。
p→r) ∧r￢p
故推理正确。
4)推理形式结构为。
p→q) ∧p→￢q
此形式结构不是重言式， 故推理不正确。
5)推理形式结构为。
p→(q∨r) )p →q
它不是重言式， 故推理不正确。
6)推理形式结构为。
pr) ∧p→￢r
此形式结构为重言式， 即。
pr) ∧p￢r
故推理正确。
推理是否正确， 可用多种方法证明。 证明的方法有真值表法， 等值演算法。 证明推理正确还可用构造证明法。
下面用等值演算法和构造证明法证明(6)推理正确。
1. 等值演算法。
pr) ∧p→￢r
p→r) ∧r→p)∧￢p→￢r
((￢p∨r) ∧r∨p)∧￢p) ∨r
(￢p∨r) ∨r∨p) ∨p ∨￢r
p∧￢r)∨(r∧￢p)∨p ∨￢r
(r∧￢p)∨p ∨￢r 吸收律。
(r∧￢p)∨￢p ∨r） 德摩根律。
即(pr) ∧p￢r
故推理正确。
2.构造证明法。
前提： (pr), p
结论： ￢r
证明： pr前提引入。
(p→r) ∧r→p置换。
r→p化简律。
￢p前提引入。
￢r拒取式。
所以， 推理正确。
第7次作业（p53-54）
3.15 在自然推理系统p中用附加前提法证明下面各推理：
1)前提： p→(q→r), s→p, q
结论： s→r
2)前提： (p∨q) →r∧s), s∨t) →u
结论： p→u
1)证明：
s附加前提引入。
s→p 前提引入。
p ①②假言推理。
p→(q→r) 前提引入。
离散数学作业
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