2023年普通高等学校夏季招生全国统一考试数学。
文史类(天津卷)
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．(2013天津，文1)已知集合a＝，b＝，则a∩b＝(
a．(－2] b．[1,2]
c．[－2,2d．[－2,1]
答案：d解析：解不等式|x|≤2，得－2≤x≤2，即a＝，a∩b＝，故选d.
2．(2013天津，文2)设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝y－2x的最小值为( )
a．－7 b．－4
c．1 d．2
答案：a解析：作约束条件所表示的可行域，如图所示，z＝y－2x可化为y＝2x＋z，z表示直线在y轴上的截距，截距越大z越大，作直线l0：
y＝2x，平移l0，当l0过点a(5,3)时，z取最小值，且为－7，选a.
3．(2013天津，文3)阅读下边的程序框图，运行相应的程序，则输出n的值为( )
a．7 b．6
c．5 d．4
答案：d解析：由程序框图可知，n＝1时，s＝－1；n＝2时，s＝1；n＝3时，s＝－2；n＝4时，s＝2≥2，输出n的值为4，故选d.
4．(2013天津，文4)设a，b∈r，则“(a－b)·a2＜0”是“a＜b”的( )
a．充分而不必要条件。
b．必要而不充分条件。
c．充要条件。
d．既不充分也不必要条件。
答案：a解析：因为a2≥0，而(a－b)a2＜0，所以a－b＜0，即a＜b；由a＜b，a2≥0，得到(a－b)a2≤0可以为0，所以“(a－b)a2＜0”是“a＜b”的充分而不必要条件．
5．(2013天津，文5)已知过点p(2,2)的直线与圆(x－1)2＋y2＝5相切，且与直线ax－y＋1＝0垂直，则a＝(
a． b．1 c．2 d．
答案：c解析：由题意知点p(2,2)在圆(x－1)2＋y2＝5上，设切线的斜率为k，则＝－1，解得，直线ax－y＋1＝0的斜率为a，其与切线垂直，所以＝－1，解得a＝2，故选c.
6．(2013天津，文6)函数在区间上的最小值为( )
a．－1 b． c． d．0
答案：b解析：因为x∈，所以，当，即x＝0时，f(x)取得最小值。
7．(2013天津，文7)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且在区间[0，＋∞上单调递增．若实数a满足f(log2a)＋≤2f(1)，则a的取值范围是( )
a．[1,2] b．
c． d．(0,2]
答案：c解析：因为＝－log2a，所以f(log2a)＋＝f(log2a)＋f(－log2a)＝2f(log2a)，原不等式变为2f(log2a)≤2f(1)，即f(log2a)≤f(1)．
又因为f(x)是定义在r上的偶函数，且在[0，＋∞上递增，所以|log2a|≤1，即－1≤log2a≤1，解得≤a≤2，故选c.
8．(2013天津，文8)设函数f(x)＝ex＋x－2，g(x)＝ln x＋x2－3.若实数a，b满足f(a)＝0，g(b)＝0，则( )
a．g(a)＜0＜f(b) b．f(b)＜0＜g(a)
c．0＜g(a)＜f(b) d．f(b)＜g(a)＜0
答案：a解析：由f(a)＝ea＋a－2＝0得0＜a＜1.
由g(b)＝ln b＋b2－3＝0得1＜b＜2.
因为g(a)＝ln a＋a2－3＜0，f(b)＝eb＋b－2＞0，所以f(b)＞0＞g(a)，故选a.
第ⅱ卷。注意事项：
1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上．
2．本卷共12小题，共110分．
二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分．
9．(2013天津，文9)i是虚数单位，复数(3＋i)(1－2i
答案：5－5i
解析：(3＋i)(1－2i)＝3－6i＋i－2i2＝5－5i.
10．(2013天津，文10)已知一个正方体的所有顶点在一个球面上．若球的体积为，则正方体的棱长为。
答案： 解析：由题意知，.设正方体的棱长为a，则＝2r，a＝，所以正方体的棱长为。
11．(2013天津，文11)已知抛物线y2＝8x的准线过双曲线(a＞0，b＞0)的一个焦点，且双曲线的离心率为2，则该双曲线的方程为。
答案。解析：抛物线y2＝8x的准线为x＝－2，则双曲线的一个焦点为(－2,0)，即c＝2，离心率e＝＝2，故a＝1，由a2＋b2＝c2得b2＝3，所以双曲线的方程为。
12．(2013天津，文12)在平行四边形abcd中，ad＝1，∠bad＝60°，e为cd的中点．若·＝1，则ab的长为。
答案： 解析：取平面的一组基底，则。
＋，＝2＋||2＋·＝2＋||1＝1，解方程得||＝舍去||＝0)，所以线段ab的长为。
13．(2013天津，文13)如图，在圆内接梯形abcd中，ab∥dc.过点a作圆的切线与cb的延长线交于点e.若ab＝ad＝5，be＝4，则弦bd的长为。
答案： 解析：因为在圆内接梯形abcd中，ab∥dc，所以ad＝bc，∠bad＋∠bcd＝180°，∠abe＝∠bcd.
所以∠bad＋∠abe＝180°.
又因为ae为圆的切线，所以ae2＝be·ec＝4×9＝36，故ae＝6.
在△abe中，由余弦定理得。
cos∠abe＝，cos∠bad＝cos(180°－∠abe)＝－cos∠abe＝，在△abd中，bd2＝ab2＋ad2－2ab·ad·cos∠bad＝，所以bd＝.
14．(2013天津，文14)设a＋b＝2，b＞0，则的最小值为。
答案： 解析：因为a＋b＝2，所以＝1，≥，当且仅当b＝2|a|时，等号成立．
当a＞0时，，故；
当a＜0时，，.
综上可得最小值为。
三、解答题：本大题共6小题，共80分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
15．(2013天津，文15)(本小题满分13分)某产品的三个质量指标分别为x，y，z，用综合指标s＝x＋y＋z评价该产品的等级．若s≤4，则该产品为一等品．现从一批该产品中，随机抽取10件产品作为样本，其质量指标列表如下：
1)利用上表提供的样本数据估计该批产品的一等品率；
2)在该样本的一等品中，随机抽取2件产品，用产品编号列出所有可能的结果；
设事件b为“在取出的2件产品中，每件产品的综合指标s都等于4”，求事件b发生的概率．
解：(1)计算10件产品的综合指标s，如下表：
其中s≤4的有a1，a2，a4，a5，a7，a9，共6件，故该样本的一等品率为＝0.6，从而可估计该批产品的一等品率为0.6.
2)①在该样本的一等品中，随机抽取2件产品的所有可能结果为，，，共15种．
在该样本的一等品中，综合指标s等于4的产品编号分别为a1，a2，a5，a7，则事件b发生的所有可能结果为，，，共6种．所以p(b)＝.
16．(2013天津，文16)(本小题满分13分)在△abc中，内角a，b，c所对的边分别是a，b，c.已知bsin a＝3csin b，a＝3，cos b＝.
1)求b的值；
2)求的值．
解：(1)在△abc中，由，可得bsin a＝asin b，又由bsin a＝3csin b，可得a＝3c，又a＝3，故c＝1.
由b2＝a2＋c2－2accos b，，可得。
2)由，得sin b＝，进而得。
cos 2b＝2cos2b－1＝，sin 2b＝2sin bcos b＝.
所以＝.17．(2013天津，文17)(本小题满分13分)如图，三棱柱abc－a1b1c1中，侧棱a1a⊥底面abc，且各棱长均相等，d，e，f分别为棱ab，bc，a1c1的中点．
1)证明ef∥平面a1cd；
2)证明平面a1cd⊥平面a1abb1；
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