高二年级第一学期末考试数学试卷。
一、填空题(每小题3分)
1、过点且法向量为的直线的一般式方程为。
2、已知矩阵，，则 。
3、点关于直线的对称点坐标为 。
4、若不等式对于任意实数恒成立，则实数的取值范围。
为 ( 5、运行右面的程序框图，该程序运行结束后输出的数字为 。
6、在等比数列中，已知，，则该数列的前项和 。
7、在直角三角形中， ,则= 。
8、已知是单调递增的等比数列，公比为，若，则的取值范围为 。
9、 已知的面积为，其中为坐标原点，且，若，则向量与的夹角的取值范围是 。
10、点到直线距离的最大值为 。
11、某海军编队进行海上军事演习，已知，两舰艇的初始位置分别为直角坐标系中与两点，演习开始后舰艇沿着向量的方向作匀速直线运动，速率为，舰艇沿着向量的方向作匀速直线运动，速率为（其中与分别是轴与轴正方向上的单位向量），设时刻后两舰艇的位置分别为与，则当时，的值为 。
12、如图设点的坐标为，已知，，且对于任意正整数都有，，，则 。
二、选择题(每小题3分)
13、直线的位置关系如图所示，已知的斜率分别为，则。
14、已知与均为非零向量，给出下列命题：
③ 若，则若，则存在唯一实数使得。
⑤ 若为实数且，则或。
上述命题中，真命题的个数为。
15、已知一个与正整数有关的命题具有如下性质，“当时该命题成立，则当。
时该命题也一定成立”。现知当时该命题不成立，则。
) 当时该命题一定成立当时该命题一定不成立
) 当时该命题一定成立当时该命题一定不成立。
16、已知三角形的三边所对应的角分别为，若成等差数列，则直线与直线的位置关系为 （
() 平行垂直相交重合 ()相交不垂直
三、解答题。
17、(满分8分)已知直线，。
若，求实数的值。
解： 因为，所以2分。
所以或2分。
当时，此时2分
当时，此时与重合2分。
综上时，18、（满分10分）已知向量与点。
1）写出过点，且以为方向向量的直线方程。
2）若向量与向量的夹角为锐角，求实数的取值范围。
解：(1) 满足题意的直线方程为4分。
2) 因为向量与向量的夹角为锐角。
所以且2分。
即且2分。所以且2分注：漏掉共扣2分。
19、（满分10分）甲、乙、丙三位同学一起到一家超市购买食品。已知该超市目前的相关商品的进价。
和售价如下表（单位： 元/千克）
三位同学在该次购物中购得相关食品的数量分别为（单位：千克）
1）按照上述**的行列次序分别写出该超市销售商品的进售货矩阵和三位同学购物矩阵。
2）利用你所学的矩阵知识，计算该次购物中三位同学各花费了多少元人民币。
3）计算在该次购物中该超市共盈利了多少元人民币。
解：(1) 进售货矩阵2分。
购物矩阵2分。
2) 因为2分。
所以该次购物中同学甲花费了元， 同学乙花费了元， 同学丙花费了元。 -1分。
3) 该超市的盈利矩阵为。
而，所以在该次购物中该超市共盈利元3分。
20、（满分10分）已知数列，满足，。
（1）设，求数列的前项和；
（2）设为一组互相垂直的单位基向量，为三角形的一个内角，，，若，求角的值。
解：(1) 因为
所以2分。又因为，所以1分。
所以1分。所以数列的前项和1分。
2) 因为
所以，即2分。
又因为， 所以1分。
由(1)可知，所以1分。
因为，所以或1分。
21、（满分14分）已知数列为等差数列，首项为，公差为，前项和为，设点的坐标。
为。（1）若三点共线，求公差的值。
（2）若，求过点且以为方向向量的直线与直线的夹角。
（3）若，且数列的前项和为，求。
解：（1）由题意可知2分。
因为三点共线，所以，即2分。
2）因为，所以2分。
因为为直线一个方向向量。
所以过点且以为方向向量的直线与直线的夹角满足。
2分。又因为，所以1分。
3) 因为，所以数列为首项为2，公比为的等比数列1分。
当，即时1分。
当，即时1分。
当时1分。当时1分。
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