24．（2012石景山）（1）如图1，在矩形abcd中，ab=2bc，m是ab的中点．直接写出∠bmd与∠adm的倍数关系；
2）如图2，若四边形abcd是平行四边形， ab=2bc，m是ab的中点，过c作ce⊥ad与ad所在直线交于点e．
若∠a为锐角，则∠bme与∠aem有怎样的倍数关系，并证明你的结论；
当时，上述结论成立；
当时，上述结论不成立．
24. （1）∠bmd= 3 ∠adm2分。
2）联结cm，取ce的中点f，联结mf，交dc于n
m是ab的中点，∴mf∥ae∥bc，∠aem=∠1，∠2=∠4， …3分。
ab=2bc，∴bm=bc，∴∠3=∠4
∵ce⊥ae，∴mf⊥ec，又∵f是ec的中点，me=mc，∴∠1=∠24分。
∠bme =3∠aem5分。
3）当0°<∠a<120°时，结论成立；
当时，结论不成立7分。
25. （2012朝阳）在矩形abcd中，点p在ad上，ab=2，ap=1，将三角板的直角顶点放在点p处，三角板的两直角边分别能与ab、bc边相交于点e、f，连接ef．
1）如图，当点e与点b重合时，点f恰好与点c重合，求此时pc的长；
2）将三角板从（1）中的位置开始，绕点p顺时针旋转，当点e与点a重合时停止，在这个过程中，请你观察、**并解答：
∠pef的大小是否发生变化？请说明理由；
直接写出从开始到停止，线段ef的中点所经过的路线长．
备用图。25. 解：（1）在矩形abcd中，，ap=1，cd=ab=2，pb=，．
△abp∽△dpc．，即．
pc=22分。
2）① pef的大小不变．
理由：过点f作fg⊥ad于点g．
四边形abfg是矩形．
gf=ab=2，．，
△ape∽△gfp4分。
在rt△epf中，tan∠pef5分。
即tan∠pef的值不变．
∠pef的大小不变6分。
7分。23. （2012朝阳）阅读下面材料：
问题：如图①，在△abc中， d是bc边上的一点，若∠bad=∠c=2∠dac=45°，dc=2．求bd的长．
小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△adc进行翻折，再经过推理、计算使问题。
得到解决．1）请你回答：图中bd的长为 ；
2）参考小明的思路，**并解答问题：如图②，在△abc中，d是bc边上的一点，若∠bad=∠c=2∠dac=30°，dc=2，求bd和ab的长．
图图②23. 解：（12分。
2）把△adc沿ac翻折，得△aec，连接de，△adc≌△aec.
∠dac=∠eac，∠dca=∠eca， dc＝ec.
∠bad=∠bca=2∠dac=30°，∠bad=∠dae=30°，∠dce=60°.
△cde为等边三角形3分。
dc＝de.
在ae上截取af＝ab，连接df，△abd≌△afd.
bd＝df.
在△abd中，∠adb=∠dac＋∠dca=45°，∠ade=∠aed =75°，∠abd =105°.
∠afd =105°.
∠dfe=75°.
∠dfe=∠def.
df＝de.
bd＝dc＝24分。
作bg⊥ad于点g，在rt△bdg中5分。
在rt△abg中6分。
22. （2012东城）在中，、、三边的长分别为、、，求这个三角形的面积．
小宝同学在解答这道题时，先建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中画出格点（即三个顶点都在小正方形的顶点处），如图1所示．这样不需求的高，而借用网格就能计算出它的面积．
1）请你将的面积直接填写在横线上。
思维拓展：2）我们把上述求面积的方法叫做构图法．若三边的长分别为、、（请利用图2的正方形网格（每个小正方形的边长为）画出相应的，并求出它的面积填写在横线上。
探索创新：3）若中有两边的长分别为、（）且的面积为，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为）中画出所有符合题意的(全等的三角形视为同一种情况)，并求出它的第三条边长填写在横线上。
22．（本小题满分5分）
解：（1）的面积为1分。
2）的面积为；
3分。（3）图中三角形为符合题意的三角形。
5分。24.（2012东城） 已知∠abc=90°，点p为射线bc上任意一点（点p与点b不重合），分别以ab、ap为边在∠abc的内部作等边△abe和△apq,连结qe并延长交bp于点f.
1）如图1，若ab=，点a、e、p恰好在一条直线上时，求此时ef的长（直接写出结果）；
2）如图2，当点p为射线bc上任意一点时，猜想ef与图中的哪条线段相等（不能添加辅助线产生新的线段），并加以证明；
3）若ab=，设bp=，以qf为边的等边三角形的面积y，求y关于的函数关系式．
解：（1）ef=21分。
2）ef=bf2分。
证明： ∵bap=∠bae-∠eap=60°-∠eap ，
eaq=∠qap-∠eap=60°-∠eap， ∠bap=∠eaq
在△abp和△aeq中，
ab=ae，∠bap=∠eaq， ap=aq， △abp≌△aeq．
∠aeq=∠abp=90°．
∠bef．
又∵ ∠ebf=90°-60°=30°，ef=bf4分。
(3) 在图1中，过点f作fd⊥be于点d．
∵ △abe是等边三角形，∴ be=ab=．
由（2）得 30°，在rt△bdf中， ．
bf= ．
ef=2 △abp≌△aeq ,∴qe=bp= ．
qf=qe＋ef．
∴ 以qf为边的等边三角形的面积y= ．7分。
25．（2012顺义）问题：如图1， 在rt△中，，，点是射线cb上任意一点，△ade是等边三角形，且点d在的内部，连接be．**线段be与de之间的数量关系．
请你完成下列**过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。
1） 当点d与点c重合时（如图2），请你补全图形．由的度数为 ，点e落在容易得出be与de之间的数量关系为。
2） 当点d在如图3的位置时，请你画出图形，研究线段be与de之间的数量关系是否与（1）中的结论相同，写出你的猜想并加以证明．
25．解：（1）完成画图如图2，由的度数。
为 60°，点e落在 ab的中点处 ，容易得出be与de之间的数量关系。
为 be=de3分。
（2）完成画图如图3．
猜想：． 证明：取ab的中点f，连结ef．，，
△是等边三角形．
4分。△ade是等边三角形，．
即5分。由①②③得 △acd≌△afe（sas6分。
f是ab的中点，ef是ab的垂直平分线．
be=ae7分。
△ade是等边三角形，de=ae.
8分。24．（2012密云）已知：正方形中，，绕点顺时针旋转，它的两边分别交cb、dc（或它们的延长线）于点m、n．
1）如图1，当绕点旋转到时，有．当绕点旋转到时，如图2，请问图1中的结论还是否成立？如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；
2）当绕点旋转到如图3的位置时，线段和之间有怎样的等量关系？请写出你的猜想，并证明．
24．（本小题满分7分）
解：（1）答：（1）中的结论仍然成立，即．
证明：如图2，在mb的延长线上截取be=dn，连结ae ．
易证 （sas）．
ae=an；∠eab=∠nad．
．又am为公共边，．．
即4分。2）猜想：线段和之间的等量关系为： ．
证明：如图3，在dn延长线上截取de=mb，连结a e ．
易证（sas）．
∴ am=ae；∠mab=∠ead．
易证（sas）．
∵，7分。
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