昌平24．解：（1）∵抛物线的对称轴为，1分。
抛物线与轴只有一个交点 ， 2分。
∴抛物线c的解析式为3分。
（3）假设点d存在，设d．
作轴于点，如图．
则︱a︱，︱b－1︱．
由△dpb为等边三角形，得rt△dhb中，∠hbd=60°．
d在抛物线c上。或．或．
满足条件的点存在，分别为。
7分。朝阳）如图①，在正方形abcd中，e、f分别是bc、cd上的点，且∠eaf＝45 °，则有结论ef＝be＋fd成立；
1）如图②，在四边形abcd中，ab＝ad，∠b＝∠d＝90°，e、f分别是bc、cd上的点，且∠eaf是∠bad的一半，那么结论ef＝be＋fd是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；
2）若将（1）中的条件改为：在四边形abcd中，ab＝ad，∠b+∠d＝180°，延长bc到点e，延长cd到点f，使得∠eaf仍然是∠bad的一半，则结论ef＝be＋fd是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明。
解：（1）结论ef= be＋fd成立1分。
延长eb到g，使bg=df，连接ag.
∠abg＝∠d＝90°, ab＝ad，△abg≌△adf.
ag＝af且∠1＝∠2．
∠1+∠3＝∠2+∠3=∠bad．
∠gae=∠eaf．
又ae＝ae，△aeg≌△aef.∴eg＝ef．
即ef=be+bg=be＋fd3分。
2）结论ef=be＋fd不成立，应当是ef=be－fd4分。
在be上截取bg，使bg=df，连接ag．
∠b+∠adc＝180°,∠adf+∠adc＝180°，∠b＝∠adf．
ab＝ad，△abg≌△adf.∴ag＝af．
∠1＝∠2，∠1+∠3＝∠2+∠3=∠bad．
∠gae=∠eaf．
ae＝ae，△aeg≌△aef.∴eg＝ef
即ef=be－bg=be－fd7分。
大兴）如图24-1，已知点d在ac上，和都是等腰直角三角形，点m为ec的中点。
1）求证：为等腰直角三角形。
（2）将绕点a逆时针旋转，如图24-2，（1）中的“为等腰直角三角形”是否仍然成立？请说明理由。
3）将绕点a逆时针旋转，如图24-3，1）中的“为等腰直角三角形”成立吗？
不用说明理由。
4） 我们是否可以猜想，将绕点a任意旋转。
一定的角度，如图24-4，（1）中的“为等腰直角三。
角形”均成立？（不用说明理由）.
1）证明：点m是rt△bec的斜边ec的中点，bm=ec=mc，∠mbc=∠mcb.
∠bme=2∠bcm.
同理可证：dm=ec=mc，emd=2∠mcd1分。
∠bmd=2∠bca=90°，bm=dm.
△bmd是等腰直角三角形2分。
2）（1）中的结论仍然成立3分。
延长dm与bc交于点n
de⊥abcb⊥ab，∠edb=∠cbd=90°
de∥bc.
∠dem=∠mcn.
又∵∠emd=∠nmc图24-2
em=mc△edm≌△mnc4分。
dm=mn.
de=nc=ad.
又ab=bc，ab－ad=bc－cn
bd=bn.
bm⊥dm.
即∠bmd=90°.
∠abc=90°，bm=dn=dm.
△bmd是等腰直角三角形5分。
3）（1）中的结论成立6分。
4）（1）中的结论成立7分。
房山）24、如图，点a在y轴上，点b在x轴上，且oa＝ob＝1，经过原点o的直线l交线段ab于点c，过c作oc的垂线，与直线x＝1相交于点p，现将直线l绕o点旋转，使交点c从a向b运动，但c点必须在第一象限内，设ac的长为t．
1）当△aoc和△bcp全等时，求出t的值．
2）通过动手测量线段oc和cp的长来判断它们之间的大小关系？并证明你得到的结论．
3）设点p的坐标为（1，b），试写出b关于t的函数关系式和变量t的取值范围．
1)∵∠aob=，ao=bo=1
ab=由△aoc≌△bcp知ao=bc=1，ac=
1分。2）oc=cp2分。
过点c作x轴的平行线，交oa于点e,交。
直线bp于点f,则∠oec=∠cfp=且ao=ob=ef
∠eac=ae=ec
oe=cf∠ocp=
∠eco+∠fcp=
又∵∠aoc+∠eco=
∠aoc=∠fcp
△oec≌△cfp
oc=cp3分。
3)∵ac=t, ∠aec=，∠eac=
ae=ec=
oe=bf=
pf=当b>0时， p在x轴上方，pb=b，由bf = oe
当b<0时，p在x轴下方，bp=－b，如图2图2）
由△oec≌△cfp,得ec=fp=
oe=,bf=-(b)
b关于t的函数关系式为7分。
丰台）有一座抛物线型拱桥，其水面宽为18米，拱顶离水面的距离为8米，货船在水面上的部分的横断面是矩形，如图建立平面直角坐标系．
1)求此抛物线的解析式，并写出自变量的取值范围；
2)如果限定的长为9米，的长不能超过多少米，才能使船通过拱桥？
3)若设，请将矩形的面积用含的代数式表示，并指出的取值范。围．解：
1）依题意可知，点分。
设抛物线的解析式为分。
自变量x的取值范围是分。
2），点的横坐标为，则点的纵坐标为，∴点的坐标为分。
因此要使货船能通过拱桥，则货船高度不能超过（米）．…分。
３）由，则点坐标为分。
此时分。分。
西城已知抛物线： 的顶点为a，抛物线的对称轴是y轴，顶点为点b，且抛物线和关于p（1，3）成中心对称。
1）用m的代数式表示抛物线的顶点坐标；
2）求m的值和抛物线的解析式；
3）设抛物线与x轴正半轴的交点是c，当为等腰三角形时，求a的值。
解：（1）因为，所以，抛物线的顶点a（m，2m+12分。
2) 如图，因为点a、b关于点p（1，3）成中心对称，作pey轴于点e，作afy轴于点f，可知。 所以，af=2pe,即m=2.--3分。
又p (1,3),a（2，5）设直线ap的解析式为y=kx+b,把a、p的坐标代入得所以k=2，b=1.故直线ab的解析式是y=2x+1,得抛物线的顶点的坐标是b(0,1).-4分。
因为关于点p成中心对称，所以，抛物线的开口大小相同，方向相反，得的解式是5分。
(3)在中，因为ab=,所以不存在ab=ac的情况。
当为等腰三角形时，只有以下两种情况：
如图1,设c(x,0),若bc=ab=,则oc=,得c(,0).又 c(,0)在上，则。--6分。
如图2,若ac=bc，设c（x，0），作adx轴于点d，在中，；
在中， 由，解得x=7.
因为c(7,0)在上，所以a=.
综上，满足使是等腰三角形的a的值有两个：
7分。宣武已知：直线交轴于两点，经过两点的抛物线顶点为．
1）求两点坐标；
2）求出该抛物线的函数关系式，并判断点是否在直线上；
3）以点为圆心，以为半径作⊙b，将⊙b沿轴翻折得到⊙d，试判断直线与⊙d的位置关系，并说明理由；
4）若为⊙b优弧上一动点，连结，问在抛物线上是否存在一点，使，若存在，试求出点的坐标；若不存在，试说明理由．
1）当时，，点坐标为。
当时，， 点坐标为1分。
2）抛物线经过，对称轴， 且。
即 ∴该抛物线的函数解析式为2分。
当时，。点坐标为。
将，代入中，等式成立。
点在直线上3分。
3）与⊙d相切，理由如下：
联结， 又。
与相切4分。
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