（平谷）如图，在正方形中，点在边上，射线交于点，交的延长线于点。
1）求证：≌；
2）过点作，交于点，求证：；
3）当ad：df=时，试判断的形状并证明结论．
解：（1）证明：∵四边形是正方形，bd是对角线，ad=cd，∠1=∠2，∠dcb=∠dcg=90 o．
de=de3分。
于c，∠4+∠5=90 o．
∠dcg=∠5+∠6=90 o，∠4=∠6．
ad∥bc，∠3=∠g．
∠6=∠g．
∠7+∠g=90 o， ∠5+∠6=90 o，∠5=∠7．
5分。3）判断：是等腰三角形．
∠adf=90 o，ad：df=，∠afd= 60 o．
∠3=∠g=∠4= 30 o，∠afd= ∠7=60 o．
∠ceg=∠7—∠4=∠g=30 o．
ce=cg。 即是等腰三角形6分。
石景山如图①：四边形abcd为正方形，m、n分别是bc和cd中点，am与bn交于点p，1）请你用几何变换的观点写出△bcn是△abm经过什么几何变换得来的；
2）观察图①，图中是否存在一个四边形，这个四边形的面积与△apb的面积相等？写出你的结论。（不必证明）
3）如图②：六边形abcdef为正六边形，m、n分别是cd和de的中点，am与bn交于点p，问：你在（2）中所得的结论是否成立？若成立，写出结论并证明，若不成立请说明理由。
解：（1）△bcn是△abm绕正方形中心o逆时针旋转90°得到的 ……2分。
△bcn是△abm沿bc方向平移bc长，使点b与点c重合，再绕点c逆时针旋转90°得到的）
23分。3）（2）中结论仍成立，即4分。
证明：设正六边形abcdef中心为o
∠aob=∠boc=∠cod=∠mon=60°，ao=bo，bo=co，co=do，mo=no.
四边形bcdn是四边形abcm绕点o逆时针旋转60°得到的………6分。
s四边形bcdn=s四边形abcm
s四边形bcdn－s四边形bcmp=s四边形abcm－s四边形bcmp7分。
即：崇文在菱形abcd中，∠bad＝120°，ab＝4，把一个含60°角的三角板与这个菱形叠合，使三角板的60°角的顶点与点a重合，两边分别与ab、ac重合。将三角板绕点a按逆时针旋转，设旋转角为．
1）如图1，当时，三角板的两边分别与菱形的两边bc、cd相交于点e、f，请你通过观察或测量写出图中现有的两组相等线段（菱形的边和对角线除外）；
2）如图2，当时，三角板的两边分别与菱形的两边bc、cd的延长线相交于点e、f，你在（1）中得到的结论还成立吗？若成立，请你选择一组加以证明；若不成立，请你说明理由；
3）当时，三角板的两边分别与菱形的两边bc、cd相交于点e、f，请你求出这个三角板与这个菱形重合部分的面积．
解：（1）be=cf，ae=cf，ce=df．写出两组即可2分。
2）如图1，be=cf的结论仍然成立．
证明：∵在菱形中abcd，∠bad＝120°， bac＝∠abc =∠acd＝∠cad ＝60° .
ab=ac. …3分。
又由题意可知，∠eaf ＝60° .
bae＝∠caf4分。
在△bae和△caf中。
∴ △bae≌△caf
be=cf5分。
其它相等的线段的证明，参照此评分标准相应给分。
3）如图2，当时，这个三角板与这个菱。
形重合部分的面积就是四边形aecf的面积。
由题意可证 △bae≌△caf.
四边形aecf的面积就是△abc的面积。
ab＝4， 所求图形的面积为平方单位7分。
08昌平）23．（1）两个全等的等腰直角三角形和三角形如图1放置，点在同一条直线。
上．那么点c，a，e在同一条直线上；
在图1中，作的平分线，过点作，垂足为；
猜想：线段的关系，结论是。
2）将（1）中的“等腰直角三角形”换成“直角三角形”，其它条件不变，如图2, 连结ce，请问你猜想的bf与ce的关系是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请说明理由。
解答：（1）①画图1分。
②结论是：bf⊥ce，bf=ce．……3分。
2）如图。
证明bf=ce.
bf为∠abf的平分线，∠abc=90°，∠cbf=∠abf=45°.
df⊥bf,
∠f=90°．
点b,a,d在同一条直线上，∴△bfd为直角三角形。
cos∠fbd=.
bf=．又∵rt△abc≌rt△eda,bc=ad,ba=de.
设bc=ad=a,ba=de=b,bd=a+b.
bf4分。过e作eh∥bd交cb的延长线于h.
∠cba=90°, ade=90°，∠cba=∠ade．
ch∥de．
四边形bhed为矩形。
bh=de=b,he=bd=a+b.
ch=a+b．
△hce等腰直角三角形。
由勾股定理，得ce5分。
bf6分。证明bf⊥ce．
rt△che是等腰直角三角形，∠hce=∠hec=45°.
∠fbc=45°,∠bge=∠hce+∠fbc=90°
bf⊥ce7分。
bf⊥ce, bf=ce仍然成立。
朝阳）我们给出如下定义：若一个四边形中存在一组对边的平方和等于另一组对边的平方和，则称这个四边形为等平方和四边形．
1）写出一个你所学过的特殊四边形中是等平方和四边形的图形的名称。
2）如图（1），在梯形abcd中，ad∥bc，ac⊥bd，垂足为o．
求证：，即四边形abcd是等平方和四边形．
3）如果将图(1)中的△aod绕点o按逆时针方向旋转α度（0<α<90）后得到图(2)，那么四边形abcd能否成为等平方和四边形？若能，请你证明；若不能，请说明理由．
1）菱形或正方形1分。
2）证： ∵ac⊥bdo,∴∠aod=∠boc=∠aob=∠doc=90°．
即四边形abcd是等平方和四边形3分。
3）解：四边形 abcd是等平方和四边形。
证：原梯形记为，依题意旋转后得四边形abcd，连接ac、bd交于点，∵∥bc，∽．
．，．aoc=∠dob=180°－α
又∵，△aoc∽△dob5分。
又∵∠3=∠4，．
由（2）的结论得：．
即四边形abcd是等平方和四边形7分。
大兴）已知二次函数的图象和x轴有且只有一个交点a，与y轴的交点为。
b（0，4），且．
1）求该二次函数的解析表达式；
2）将一次函数y=x的图象作适当平移，使它经过点a，记所得的图象为l，图象l与抛物线的另一个交点为c，求△abc的面积．
解：（1）由b（0，4）得，c=4．
抛物线与x轴的交点a（，0），=即a（－2，0）．…1分。
解得。所求二次函数的解析式为3分。
2）设图象l的函数解析式为y=x+b，因图象l过点a（，0），所以，即平移后所得一次函数的解析式为。
y4分。令=，解得，．
将它们分别代入y=，得，．
所以图象l与抛物线的。
另一个交点为c（，96分。
如图，过c作cd⊥x轴于d，则。
s△abc=s梯形bcdo-s△acd -s△abo
………7分。
房山）图1是边长分别为a和b（a＞b）的两个等边三角形纸片abc和c′de叠放在一起（c与c′重合）的图形．
（1）操作：固定△abc，将△c′de绕点c按顺时针方向旋转30°，连结ad，be，如图2；在图2中，线段be与ad之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．
（2）操作：若将图1中的△c′de绕点c按顺时针方向任意旋转一个角度，连结ad，be，如图3；在图3中，线段be与ad之间具有怎样的大小关系？证明你的结论．
（3）根据上面的操作过程，请你猜想当为多少度时，线段ad的长度最大？是多少？当为多少度时，线段ad的长度最小？是多少？（不要求证明）
图1图2图3
（1）be=ad1分。
∵△c′de绕点c按顺时针方向旋转30°，∴bce=∠acd=30°．
∵△abc与△c′de是等边三角形，∴ca=cb，ce=cd．
△bce≌△acd．
be=ad2分。
2）be=ad3分。
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