知识要点】以前同学们学习过程问题，现在、我们进一步学习较复杂抽象的行程问题。解这类行程问题，更要注意：出发的时间、地点、行驶方向、运动的途径、速度的变化等。
分析较复杂的行程问题时经常要借助线段图，解题时常常要用到分数、比和比例等知识。
典型例题】例1.甲、乙两车分别从a、b两地同时出发相向而行，甲车每小时行45千米，乙车每小时行36千米。相遇以后继续以原速前进，各自到达目的地后又立即返回，这样不断往返行驶。
已知途中第二次相遇地点与第三次相遇地点相距40千米。问：a、b两地相距多少千米？
分析：甲、乙两车的速度比是45:36＝5:4，因此在相同的时间内，甲、乙两车所行路程的比也为5:4。如果把a、b间的距离平均分成（5＋4＝9份），画图得：
第一次相遇，甲、乙两车合行一个全程，其中甲车行了5份，在c点与乙车相遇；第二次相遇，甲、乙两车合行了3个全程，甲车行了5×3＝15份，距a点9×2－15＝3份，即在d点与乙车相遇；第三次相遇，甲、乙两车合行了5个全程，甲车行了5×5＝25份，相遇点e距离a点25－9×2＝7份，d、e之间的距离是40千米。
解：甲、乙两车的速度比为：45:36＝5:4；把a、b两地之间的距离平均分成9份。第二次相遇地点d距离a点：9×2－5×3＝3（份）
第三次相遇地点e距离a点：5×5－9×2＝7（份）
a、b两地距离为：40÷（7－3）×9＝90（千米）
答：a、b两地相距90千米。
例2.从甲市到乙市有一条公路，它分成三段。在第一段上，汽车速度是每小时40千米，在第二段上，汽车速度是每小时90千米，在第三段上，汽车速度是每小时50千米。
已知第一段公路的长恰好是第三段的2倍。现有两辆汽车分别从甲、乙两市同时出发，相向而行，1小时20分后，在第二段的处（从甲到乙方向的处）相遇，那么，甲、乙两市相距多少千米？
分析：画出如下示意图。
当从乙城开出的汽车走完第三段到达c时，从甲城开出的汽车走完第一段的，到达d处，这说明走第一段的，与走第三段时间相等，说明第一段所用时间与第三段所用时间的比是5:2。又因为两车在第二段的处相遇，说明甲城汽车从d到e走完第一段，与乙城汽车走完第二段的（从c到f）所用时间相同，即汽车走第一段的（）与走第二段的所用时间相等，由此可知：
第一段所用时间与第二段所用时间的比是。因此，三段路程所用时间的比是5:9:
2，汽车走完全程所用时间是80×2＝160（分），按比例分配可求出每段路程所用时间，甲、乙两市之间的距离迎刃而解。
解： 第一段路程所用时间：第三段路程所用时间＝5:2
第一段路程所用时间：第二段路程所用时间＝
三段路程所用时间的比是5:9:2
汽车走完全程所用时间是：80×2＝160（分）
汽车在第一段路上所用时间是：（分）
在第二段路上所用时间是：50÷5×9＝90（分）
在第三段路上所用时间是：50÷5×2＝20（分）
甲、乙两市距离是：（千米）
答：甲、乙两市相距185千米。
例3.一个步行人和一个骑车人沿同一条公共汽车路线同向而行，骑车人的速度是步行人速度的3倍，每隔20分钟有一辆公共汽车超过步行人，每隔40分钟有一辆公共汽车超过骑车人。如果公共汽车从始发站，每次间隔同样的时间发一辆车，那么每隔多少分钟发一辆公共汽车？
分析一：设每隔分钟发一辆公共汽车，由题意知，步行人走20分钟的路，公共汽车要走（20－）分钟；骑车人走40分钟的路，公共汽车要走（40－）分钟。根据“骑车人的速度是步行人速度的3倍”可知，走相同的路程，公共汽车所用的时间与步行人所用时间的比值应是公共汽车所用时间与骑车人所用时间的比值的。
解法一：设每隔分钟发一辆公共汽车，根据题意列方程：
解方程得：＝16
答：每隔16分钟发一辆公共汽车。
分析二：设每相邻两辆同向行驶的汽车的间隔距离为“1”，根据追及问题的数量关系，则有：汽车速度－步行速度＝；汽车速度－自行车速度＝。
由此可知：自行车速度－步行速度＝－＝根据“骑车速度是步行速度的3倍”可求出步行速度，进而求出汽车速度，随即也能求出发车的间隔时间。
解法二：设每相邻两辆同向行驶的汽车的间隔距离为“1”
步行速度为汽车速度为：
发车的间隔时间为：（分）
答：每隔16分钟发一辆公共汽车。
例4.小张和小李都要从a地到b地，a、b两地相距54千米。他们只有一辆自行车，两人约定分别各骑车行一段路，步行一段路，先骑车的人骑了一段路后将车放下留给后面步行的人，最后二人以最短的时间同时到达b地。
已知二人骑车的速度都是每小时15千米，小张步行的速度为每小时3千米，小李步行的速度为每小时4千米。求二人从a地到b地所用的时间。
分析：要求二人从a地到b地所用的时间，关键要求出每个人骑车和步行分别行了多少千米。本题中并未指明谁先骑车，谁先步行。
我们不妨假设小张先步行，小李先骑车，小李骑车从a点到c点，放下车，再从c点步行到b点；小张从a点步行到c点，骑上车后，从c点骑车到b点。这个过程可以用下图表示（c为小李放下车的地点）
由于自行车速度是小张步行速度的（15÷3＝5倍），我们可以把a、c这一段路平均分成5份，当小李骑车到c点时，小张步行了其中的1份。小张继续步行剩余的4份到达c点骑上车时，由于小李步行速度是小张步行速度的倍，所以小李又向前步行了（份）到达d点，这时只要小张骑车恰好在b地追上小李即可。
解：假设小张先步行，小李先骑车。
自行车速度是小张步行速度的15÷3＝5（倍）
把a点到小李放下车的地点（c点）这段路程平均分成5份，当小张步行到放下车的地点时，小李离放车地点的距离cd为：（份）
自行车速度是小李步行速度的（倍）
小张骑车在b点追上小李时，小张骑车的路程cb为：（份）
从a地到b地的路程相当于（份）
小张步行路程为：（千米）
小张骑车路程为：（千米）
从a地到b地所用时间为：（小时）
答：二人从a地到b地所用的时间是小时。
说明：以上是按小张先步行，小李先骑车的假设解决问题的。如果改为小李先步行，小张先骑车，那么放下车的地点就一定不一样，可从a地到b地的总时间会不会改变呢？请不妨试一试？
例5.甲、乙两个班的学生同时从学校出发去距学校21千米的某公园。学生步行速度是每小时5千米。
学校有一辆汽车，它的速度是每小时35千米，这辆汽车恰好能坐一个班的学生。两个班的学生用最短的时间同时到达公园用多少小时？
分析：本题与上题的区别在于汽车可以来回接送，而自行车是在原地等待人来骑。题目中的要求有两点至关重要，一是两个班“同时到达”，二是两个班同时到达的“时间最短”。
根据这两点，就要把步行和乘车结合起来，使得每个班的学生步行和乘车在不停地进行。因此我们可以这样设计方案：
两个班同时从学校出发，甲班步行，乙班乘车；汽车到达中途某地点时，乙班学生下车继续步行前进；汽车则返回，遇上甲班则甲班同学上车，驶向目的地，最后乙班步行，甲班乘车同时到达目的地。这个过程可以用下图表示：
图中b点表示乙班下车地点，a点表示甲班上车地点，带箭头的线段表示汽车行驶路线。实际上就是甲班步行到a点，然后乘车到达公园，乙车乘车到b点，然后步行到达公园，由于两个班学生步行的速度相等，又同时出发，同时到达。所以两个班学生步行的路程应该相等，因此从学校到a点的距离应该等于从b点到公园的距离，解这道题的关键是找两个班步行路程和乘车路程各占全程的几分之几。
解：设甲班步行的路程为1份（即学校到a点的距离为1份）
因为：35÷5＝7（倍），当甲班步行到a点时，汽车已经到达b点后又返回到a点。
所以a点到b点的距离为：（7－1）÷2＝3（份）
这样全程为1＋3＋1＝5（份），每个班步行路程占全程的，乘车路程占全程的。
所用时间为：（小时）
答：两个班的学生用最短时间同时到达公园用小时。
能力训练】a 级。
1.甲、乙两车分别从a、b两地同时出发相向而行，在离a地60千米处相遇，相遇后两车继续前进，到达对方出发地后立即返回，在距a地40千米处两车第二次相遇。求ab两地间的距离。
2.上午8点8分，小明骑自行车从家里出发，8分钟后，爸爸骑摩托车去追他，在离家4千米的地方追上他。然后爸爸立刻回家，回家后又立刻回头去追小明，再追上他的时候，离家恰好是8千米。
问这时是几点几分？
3.甲、乙两汽车先后从a地出发到b地，当甲车到达a、b两地中点时，乙车走了全程的；当甲车到达b地时，乙车走了全程的。求甲、乙两车车速之比。
4.甲、乙两辆车分别同时从a、b两地相向而行，相遇后甲又经过15分钟到达b地，乙又经过1小时到达a地。甲车速度是乙车速度的几倍？
5.快车和慢车从甲、乙两地相对开出，如果慢车先开2小时，两车相遇时慢车过中点48千米；若快车先开2小时，相遇时距中点144千米。如果同时开出，6小时可以相遇，快车比慢车每小时快多少千米？
6.如图，a、b是圆的直径的两端，甲在a，乙在b点，同时出发反向而行，两人在c点第一次相遇，在d点第二次相遇。已知c离a有80米，d离b有60米。求这个圆的周长。
7.在一圆形跑道上，甲从a点、乙从b点同时出发反向而行，6分钟后两人相遇，再过4分钟甲到达b点，又过8分钟两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分钟？
8.炼铁厂与矿山相距63千米，现在甲乙两车往返运料。甲车自矿山，乙车自炼铁厂同时出发相向而行，时速分别为40千米和50千米，如果不计装卸时间，那么两车从出发到第三次相遇共经过多少小时？
9.甲、乙两车在一条全长10千米的环形公路上，从同一地点沿相反方向同时开出。甲车行了4千米时两车相遇，相遇后两车各增加原速度的10%继续前进。
按此规律，以后每次相遇后都各自增加原速度的10%。第三次相遇时，甲车离出发点多少千米？
10.快、慢两辆汽车同时从甲地开往乙地，快车每小时比慢车多行18千米。快车行驶4小时到达乙地后，立即返回甲地，在离乙地42千米处与慢车相遇。求甲、乙两地的距离。
b 级。1.甲、乙两车同时从a地出发，不停地往返行驶于a、b两地之间。已知甲车的速度比乙车快，并且两车出发后第一次和第二次相遇都在途中c地。甲车的速度是乙车速度的几倍？
2.甲、乙两车分别从a、b两地出发，并在a、b两地间不断往返行驶。已知甲车速度是15千米/小时，乙车速度是25千米/小时，甲、乙两车第三次相遇地点与第四次相遇地点相距100千米。
求a、b两地的距离。
3.小明步行从甲地出发到乙地，李刚骑摩托车同时从乙地出发到甲地。48分钟后两人相遇，李刚到达甲地后马上返回乙地，在第一次相遇后16分钟追上小明。
如果李刚不停地往返于甲、乙两地，那么当小明到达乙地时，李刚共追上小明几次？
4.小明通常总是步行上学，有一天他想锻炼身体，前路程快跑，速度是步行速度的4倍，后一段路程慢跑，速度是步行速度的2倍。这样，小明比平时早35分到校，小明步行上学需要多少分？
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