第一讲数学是聪明孩子喜爱的学科。
1、数学是中国聪明孩子喜爱的学科。
据说在很多国家，特别是美国，孩子们害怕数学，把数学作为“不受欢迎的学科” 。但在中国，情况很不相同，很多少年儿童喜爱数学，数学成绩也都很好。的确，数学是中国人擅长的学科，如果在美国的中小学，你见到几个中国学生，那么全班数学的前几名就非他们莫属。
在数(shǔ)数(shù)阶段，中国儿童就显出优势 。
中国人能用一只手表示1～10，而很多国家非用两只手不可。
中国人早就有位数的概念，而且采用最方便的十进制(不少国家至今还有12进制，60进制的残余)。
中国文字都是单音节，易于背诵，例如乘法表，学生很快就能掌握，再“傻”的人也都知道“不管三七二十一”．但外国人，一学乘法，头就大了．不信，请你用英语背一下乘法表，真是佶屈聱牙，难以成诵．
圆周率π＝3.14159…．背到小数后五位，中国人花一两分钟就够了．可是**人为了背这几个数字，专门写了一首诗，第一句三个单词，第二句一个，……要背π先背诗，我们看来简直自找麻烦，可他们还作为记忆的妙法．
四则运算应用题及其算术解法，也是中国数学的一大特色．从很古的时候开始，中国人就编了很多应用题，或联系实际，或饶有兴趣，解法简洁优雅，机敏而又多种多样，有助于提高学生学习兴趣，启迪学生智慧．例如：
“一百个和尚一百个馒头，大和尚一个人吃三个，小和尚三个人吃一个，问有几个大和尚，几个小和尚？”
外国人多半只会列方程解．中国却有多种算术解法，如将每个大和尚“变”成9个小和尚，100个馒头表明小和尚是300个，多出200个和尚，是由于每个大和尚变小和尚，多变出8个，从而200÷8＝25即是大和尚人数．小和尚自然是75人。或将一个大和尚与3个小和尚编成一组，平均每人吃一个馒头．恰好与总体的平均数相等．所以大和尚与小和尚这样编组后不多不少，即大和尚是。
100÷(3＋1)＝25人．
中国人善于计算，尤其善于心算．古代还有人会用手指计算(所谓“掐指一算”)．同时，中国很早就有计算的器械，如算筹、算盘．后者可以说是计算机的雏形．
在数学的入门阶段——算术的学习中，我国的优势显然，所以数学往往是我国聪明的孩子喜爱的学科．
几何推理，在我国古代并不发达(但关于几何图形的计算，我国有不少论著)，比希腊人稍逊一筹．但是，中国人善于向别人学习．目前我国中学生的几何水平，在世界上遥遥领先．曾有一个外国教育代表团来到我国一个初中班，他们认为所教的几何内容太深，学生不可能接受，但听课之后，不得不承认这些内容中国的学生不但能够理解，而且掌握得很好．
我国数学教育成绩显著．在国际数学竞赛中，我国选手获得众多奖牌，就是最有力的证明．从2023年我国正式派队参加国际数学奥林匹克以来，中国队已经获得了11次团体冠军．成绩骄人．当代著名数学家陈省身先生曾对此特别赞赏．他说“今年一件值得庆祝的事，是中国在国际数学竞赛中获得第一．……去年也是第一名．”(陈省身2023年10月在台湾成功大学的讲演“怎样把中国建为数学大国”)陈省身先生还预言：“中国将在21世纪成为数学大国．”
成为数学大国，当然不是一件容易的事，不可能一蹴而就，它需要坚持不懈的努力．我们力争进一步普及数学知识，使数学为更多的青少年喜爱，帮助他们取得好的成绩，使喜爱数学的同学得到更好的发展，学到更多的知识和方法．
2、数字磁铁。
人们称495是三位数中一个怪数，说它像磁铁：任意一个数字不全相同的三位数，按照一定的规则减来减去，最多不超过六次运算，都会被它“吸引”过去——变成495 ！
信不信由你，它真的这么怪。
给定一个三位数，例如784。把这个数中的各位数字)，按照从大到小的顺序重新排列，得到874。显然，它是用组成的所有三位数中最大的一个数。
同样，可以排成最小的：478。“最大数”和“最小数”相减，有。
继续对差数396作同样运算，又有。
再对所得的结果作同样的运算，于是。
至此，如果按照上面的规律继续算下去，结果总是495——出现了一个不变的常数495。
这是自然数王国的又一件怪事！
其他多位数中是不是也有这样的怪数呢？除了495外，四位数中也有类似的怪数6174。
请看下面的例子：
人们将称为“磁铁数”。把这个事实称为“磁铁数定理”。
3、数学回文。
一提到李白，人们都知道这是我国唐代的大诗人。如果把“李白”两个字颠倒一下，变成“白李”，这也可以是一个人的名字，此人姓白名李。像这样，正着念、反着念都有意义的诗词字句都叫做回文。
文学史上，有许多与回文有关的故事。
清代，北京有个酒楼叫“天然居”。一次，乾隆皇帝触景生情，以酒楼为题写对联，上联是：
客上天然居，居然天上客。
但是，这位博学多才的皇帝苦苦思索，却写不出下联。因为下联的后五个字，必须是前五个字的颠倒，又要语意通顺，还要平仄协调，的确是很难的事。直到很久以后，才有位读书人给出了下联：
僧游云隐寺，寺隐云游僧。
与此类似，数学里也有“回文式”。
我们借用上面的对联组成这样一个式子：
僧游×云隐寺＝寺隐云×游僧。
现在要问：不同的汉字用不同的数字(0～9)代替，这个算式能成立吗？能，而且不止一个：
13×341＝143×3l， 13×682＝286×31
我们看到，这类等式不仅外形整齐、对称，“内部构造”也很巧妙：每个等式中两位数的十位数字和三位数的百位数字的乘积，正好等于两位数的个位数字和三位数的个位数字的乘积；等式中三位数的十位数字恰好等于个位数字和百位数字的和。例如，在12×231＝132×2l中，1×2＝2×1，且3＝2＋1；在12×693＝396×21中，1×6＝2×3，且9＝6＋3等。
掌握了这两个特点，就容易写出这类等式了，并且容易看出，关键是找出满足第一个特点的四个数字，从而三位数的十位数字也就确定了。例如，3×6＝9×2，这时三位数的十位数字是6＋2＝8，可得等式。
当然，也可以由9×2＝3×6，又2＋6＝8，得。
这两种形式反映了同样四个数之间的关系，可以看作是一个等式的两种形式。
那么这类等式共有多少个呢？
我们可以从1开始，依次取2，3，…，9进行组合，然后再从2开始，依次取3，4，…，9进行组合，……看能组合成多少不完全相同的4个数字的乘积，并且第2、第4个数字的和不大于9，就能有多少个不同的等式。
1×2＝2×1，又2＋1＝3，于是有。
1×3＝3×1，又3＋1＝4，于是有。
1×4＝4×1，又4＋l＝5，于是有。
1×4＝2×2，又4＋2＝6，于是有。
依次类推，共可得到33个不同等式。
数学里还有“回文数”，其特征是：从左到右读与从右到左读完全一样，例如，101，32123，9999等等。
两个相同位数的回文数，如果各位相加时能够“就地消化”，不发生进位情况，那么其和仍是一个回文数。同样，在两个回文数相减时(规定要用大数减小数)，如果不需要从上一位“借”，则其差也是一个回文数。例如：
有趣的是，某些回文数在相加时即使要发生“进位”，但其和数却依然是个回文数。例如：
这样的回文数的模式是aa…a (共n个a)与bb…b(共n个b)，而且a与b应满足关系式a＋b＝1l，以及a＞1，b＜10。
假如你遇到一个不是回文数的普通数，怎样才能使它“变”成回文数呢？办法很简单，只要把这个数加上它的逆序数就行了，这称为一次“操作”(或“变换”)，把这种“操作”反复进行下去，到头来你就可以得出一个回文数。
这就是有名的“回文数猜想”。它至今仍然是个谜：说它正确，却无法证明；说它不正确，又找不出一个反例。
可能成为说明“回文数猜想”不成立的反例是196，因为有人用电子计算机对这个数进行了几十万步计算，仍然没有出现回文数，但是却没有人能证明这个数永远产生不了回文数。
数学家还对“回文质数”进行了大量研究，发现了另外一些“谜”。
101，131，353，919，这些自然数既是回文数，又是质数，叫做“回文质数”。
第一个谜是：回文质数有无穷多个吗？数学家猜想它有无穷多个，但也仅仅是猜想。
181和191，373和383，30103和30203等等，它们都是回文质数，并且每一对中间的数字是连续的，而其他数字都是相同的，这样的两个数叫做“回文质数对”。
第二个谜是：回文质数对有无穷多个吗？至今也没有解决。
数学家还发现，在回文数中，平方数是非常多的，例如，121＝1l2，12321＝11l2，1234321＝111l2，…，1234567898765432l
立方数也有类似情况，例如，133l＝113，1367631＝1113
4、奇怪的无穷多。
整数有多少个？
无穷个。偶数有多少个？
无穷个。这样的问答是正确的。如果我问你：
整数与偶数，哪一种数多？
恐怕不少同学都会说，当然整数比偶数多了。进一步，恐怕还会有同学告诉我，“偶数的个数等于整数个数的一半”。什么道理呢？
那是因为“奇数与偶数合起来就是整数。而奇数与偶数是相同排列的，所以奇数与偶数一样多，大家都是整数的一半”。
整数包括偶数，偶数是整数的一部分，全体大于部分，整数比偶数多，这不是显而易见、再明白不过的事吗？
你认为这样回答有道理吗？
16世纪意大利著名科学家伽利略的看法却与此相反，他曾提出过一个著名的悖论，叫做“伽利略悖论”，悖论的内容是：“整数和偶数一样多。”这似乎违背常识。
不过，伽利略所说的，也绝不是没有道理。首先，我们论述的对象都是无穷个，而不是有限个，对于有限个来说，“全体大于部分”无可争议。从0到10的整数比从1到10的偶数就是多。
但是，把这个用到无穷上就要重新考虑了。对于有限来说，说两堆物体数量一样多，只要把各堆物体数一下，看看两堆物体的数量是否相等就可以。这个办法对“无穷”来说是不适用的，因为“无穷”本身就包括“数不完”的意思在内。
看起来，我们得另想办法。
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