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观察法。例1此题是九年义务教育六年制小学教科书数学。
第二册，第11页中的一道思考题。书中除图1-1的图形外没有文字说明。这道题旨在引导儿童观察、思考，初步培养他们的观察能力。
这时儿童已经学过20以内的加减法，基于他们已有的知识，能够判断本题的意思是：在右边大正方形内的小方格中填入数字后，使大正方形中的每一横行，每一竖列，以及两条对角线上三个数字的和，都等于左边小正方形中的数字18。实质上，这是一种幻方，或者说是一种方阵。
例2 看每一行的前三个数，想一想接下去应该填什么数。
例3 将1～9这九个数字填入图1-6的方框中，使图中所有的不等号均成立。
解：仔细观察图中不等号及方框的排列规律可发现：只有中心的那个方框中的数小于周围的四个数，看来在中心的方框中应填入最小的数1。
再看它周围的方框和不等号，只有左下角的那个方框中的数大于相邻的两个方框中的数，其它方框中的数都是一个比一个大，而且方框中的数是按顺时针方向排列越来越小。
所以，在左下角的那个方框中应填9，在它右邻的方框中应填2，在2右面的方框中填3，在3上面的方框中填4，以后依次填。
图1-7是填完数字的图形。
例4 从一个长方形上剪去一个角后，它还剩下几个角？
解：此题不少学生不加思考就回答：“一个长方形有四个角，剪去一个角剩下三个角。”
我们认真观察一下，从一个长方形的纸上剪去一个角，都怎么剪？都是什么情况？
1）从一个角的顶点向对角的顶点剪去一个角，剩下三个角（图1-8）。
2）从一个角的顶点向对边上任意一点剪去一个角，剩下四个角（图1-9）。
3）从一个边上任意一点向邻边上任意一点剪去一个角，剩下五个角（图1-10）。
例5 甲、乙两个人面对面地坐着，两个人中间放着一个三位数。这个三位数的每个数字都相同，并且两人中一个人看到的这个数比另一个人看到的这个数大一半，这个数是多少？
例这五个数的总和是多少？
例7 你能从400÷25=（400×4）÷（25×4）=400×4÷100=16中得到启发，很快算出（1）600÷25（2）900÷25（3）1400÷25（4）1800÷25（5）7250÷25的得数吗？
例8 把1～1000的数字如图1-11那样排列，再如图中那样用一个长方形框框出六个数，这六个数的和是87。如果用同样的方法（横着三个数，竖着两个数）框出的六个数的和是837，这六个数都是多少？
例9 有一个长方体木块，锯去一个顶点后还有几个顶点？
加法原理（二）
我们通常解题，总是要先列出算式，然后求解。可是对有些题目来说，这样做不仅麻烦，而且有时根本就列不出算式。这一讲我们介绍利用加法原理在“图上作业”的解题方法。
例1小明要登上10级台阶，他每一步只能登1级或2级台阶，他登上10级台阶共有多少种不同的登法？
分析与解：登上第1级台阶只有1种登法。登上第2级台阶可由第1级台阶上去，或者从平地跨2级上去，故有2种登法。
登上第3级台阶可从第1级台阶跨2级上去，或者从第2级台阶上去，所以登上第3级台阶的方法数是登上第1级台阶的方法数与登上第2级台阶的方法数之和，共有1+2＝3（种）……一般地，登上第n级台阶，或者从第（n—1）级台阶跨一级上去，或者从第（n—2）级台阶跨两级上去。根据加法原理，如果登上第（n—1）级和第（n—2）级分别有a种和b种方法，则登上第n级有（a＋b）种方法。因此只要知道登上第1级和第2级台阶各有几种方法，就可以依次推算出登上以后各级的方法数。
由登上第1级有1种方法，登上第2级有2种方法，可得出下面一串数：
其中从第三个数起，每个数都是它前面两个数之和。登上第10级台阶的方法数对应这串数的第10个，即89。也可以在图上直接写出计算得出的登上各级台阶的方法数（见下图）。
例2在左下图中，从a点沿实线走最短路径到b点，共有多少条不同路线？
分析与解：题目要求从左下向右上走，所以走到任一点，例如右上图中的d点，不是经过左边的e点，就是经过下边的f点。如果到e点有a种走法（此处a＝6），到f点有b种走法（此处b＝4），根据加法原理，到d点就有（a＋b）种走法（此处为6＋4=10）。
我们可以从左下角a点开始，按加法原理，依次向上、向右填上到各点的走法数（见右上图），最后得到共有35条不同路线。
例3左下图是某街区的道路图。从a点沿最短路线到b点，其中经过c点和d点的不同路线共有多少条？
分析与解：本题可以同例2一样从a标到b，也可以将从a到b分为三段，先是从a到c，再从c到d，最后从d到b。如右上图所示，从a到c有3种走法，从c到d有4种走法，从d到b有6种走法。
因为从a到b是分几步走的，所以应该用乘法原理，不同的路线共有。
3×4×6＝72（条）。
例4沿左下图中箭头所指的方向从a到b共有多少种不同的走法？
分析与解：如右上图所示，先标出到c点的走法数，再标出到d点和e点的走法数，然后标出到f点的走法数，最后标出到b点的走法数。共有8种不同的走法。
例5有15根火柴，如果规定每次取2根或3根，那么取完这堆火柴共有多少种不同取法？
分析与解：为了便于理解，可以将本题转变为“上15级台阶，每次上2级或3级，共有多少种上法？”所以本题的解题方法与例1类似（见下表）。
注意，因为每次取2或3根，所以取1根的方法数是0，取2根和取3根的方法数都是1。取4根的方法数是取1根与取2根的方法数之和，即0＋1＝1。依此类推，取n根火柴的方法数是取（n-3）根与取（n-2）根的方法数之和。
所以，这串数（取法数）中，从第4个数起，每个数都是它前面第3个数与前面第2个数之和。取完15根火柴共有28种不同取法。
练习211.小明要登15级台阶，每步登1级或2级台阶，共有多少种不同登法？
2.小明要登20级台阶，每步登2级或3级台阶，共有多少种不同登法？
3.有一堆火柴共10根，每次取走1～3根，把这堆火柴全部取完有多少种不同取法，4.在下图中，从a点沿最短路径到b点，共有多少条不同的路线？
5.左下图是某街区的道路图，c点和d点正在修路不能通过，那么从a点到b点的最短路线有多少条？
高斯求和。若干个数排成一列称为数列，数列中的每一个数称为一项，其中第一项称为首项，最后一项称为末项。后项与前项之差都相等的数列称为等差数列，后项与前项之差称为公差。例如：
想一想：上面的数列是否是等差数列？你怎么知道的？
每一列的公差是几？首项和末项分别是多少？
思考与讨论：
首项和末项之间有什么关系？每一列一共有几项？
大家来总结：末项＝首项＋公差×（项数－1）
项数＝（末项－首项）÷公差＋1
例1、求等差数列3，7，11，15，19，…的第10项和第25项。
例2、在等差数列2，5，8，11，14，…中，101是第几项？
例3、在5和61之间插入七个数后，使它成为一个等差数列，写出这个数列。
思考与讨论：怎么计算比较简便？
大家来总结：等差数列的和＝（首项＋末项）×项数÷2
例＋2＋3＋4＋…＋1999
例＋7＋11＋…＋99
练习：1、计算下面各题。
2、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
3、求首项是13，公差是5的等差数列的前30项的和。
等差数列小练习。
班级： 姓名：
1、已知等差数列2，5，8，11，14，…
（1）这个数列的第13项是多少？
（2）47是其中的第几项？
2、已知等差数列的第1项是12，第6项是27，求公差。
3、如果一个数列的第4项为21，第6项为33，求它的第9项。
4、求首项是5，末项是93，公差是4的等差数列的和。
5、已知等差数列6，13，20，27…，问这个数列前30项的和是多少？
7、一个剧场设置了22排座位，第一排有36个座位，往后每排都比前一排多2个座位，这个剧场共有多少个座位？
四年级奥数第一讲
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