学号姓名2014．5．19
一、填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处)
1．已知集合a＝，b＝，则a∪b＝．
解 a＝，b＝，则a∪b＝(－1，＋∞
2．若复数z满足＋i＝，其中i是虚数单位，则z＝．
解由题知＝1－4i，所以z＝＝1+4i．
3．若在集合a＝中随机取一个元素m，在集合b＝中随机取一个元素n，得到点p(m，n)，则点p在圆x2＋y2＝9内部的概率为．
解点p(x0，y0)在圆x2＋y2＝9内部的充要条件为x02＋y02＜9，则题中在圆x2＋y2＝9内部的点p为(2，1)，(2，2)，所求概率为＝．
4．设x＞0，则函数y＝3－4x－的最大值是．
解因为x＞0，所以4x＋≥2＝4，当且仅当4x＝，即x＝时取等号，所以y≤3－4＝－1，当且仅当x＝时取等号，所以ymax＝－1．
5．已知等比数列的公比q＞0，若a2＝3，a2＋a3＋a4＝21，则a3＋a4＋a5＝．
解由a2＋a3＋a4＝21，得a2(1＋q＋q2)＝21，因为a2＝3，所以1＋q＋q2＝7，解得q＝－3(舍)或q＝2．所以a3＋a4＋a5＝a2(q＋q2＋q3)＝42．
6．已知椭圆＋＝1上一点p到它的左准线的距离是10，则点p到它的右焦点的距离是．
解由题意得a2＝100，b2＝36，c＝8，椭圆的离心率为．于是点p到椭圆的左焦点的距离为×10＝8，所以点p到椭圆右焦点的距离是2×10－8＝12．
7．若向量a＝(sinx，cosx)，b＝(1，一2)，且a⊥b，则tan2x＝．
解因为a⊥b，所以a·b＝0，因为a＝(sinx，cosx)，b＝(1，一2)，所以sinx一2 cosx＝0，即tanx＝2，所以tan2x＝＝一．
8．如图所示，在边长为2的菱形abcd中，∠bad＝，e为cd中点，则·＝．
解由题意得，·＝2×2×cos＝2，因为＝＋，所以2－·－2＝1．
9．设函数f(x)＝cos(2x＋φ)则“f(x)为奇函数”是“φ＝的 ▲ 条件． (选填“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”其中之一)
必要不充分。
10．若直线l过点p(1，1)，且与圆(x－2)2＋(y－2)2＝8相交于a，b两点，则弦ab最短时直线l的方程为．
解设圆心c(2，2)到直线l的距离为d，则d≤pc＝，因为(1－2)2＋(1－2)2＜8，所以点。
p(1，1)在圆内，所以ab≥2＝2，当ab＝2时，kpc＝1，所以kl＝－1，直线l的方程为y－1＝－(x－1)，即x＋y－2＝0．
11．在△abc中，若∠b＝30°，ab＝2，ac＝2，则△abc的面积是．
解由正弦定理得sinc＝，所以c＝60°或120°．
当c＝60°时，a＝90°，故△abc的面积＝2；
当c＝120°时，a＝b，可知ac＝bc，故△abc的面积＝×2×2×＝．
12.已知函数f(x)，g(x)满足f(5)＝5，f (5)＝3，g(5)＝4，g (5)＝1，则函数h(x)＝的图象在x＝5处的切线方程为．
解：由h(x)＝得h(5)＝＝又h(5)＝＝故在x＝5处的切线方程为y－＝(x－5)得5x－16y＋3＝0.
二、解答题(共6小题，总分80分)
13．（本小题14分）在△abc中，若∣∣＝10，∣∣5，＝，0．
1）求∣－∣
2）设∠bac＝θ，且cos(θ＋x)＝，x＜0，求sinx．
解 （1）由＝，得＝，因为∣∣＝5，所以∣∣＝11，所以ab＝16．
因为·＝0，所以cd⊥ab，所以∠bac＝，所以∣－∣2＝∣∣2＝bc2＝ac2＋ab2－2ac·abcos∠bac＝102＋162－2×10×16×＝196，所以∣－∣14．
2）由（1）得，∠bac＝，因为－＜x＜0，所以－＜＋x＜，由cos(＋x)＝＜cos(－)得0＜＋x＜，所以sin(＋x)＝，所以sinx＝sin[(＋x)－]sin(＋x)cos－cos(＋x)sin＝×－
14．（本小题14分）如图，正三棱柱abc－a1b1c1的所有棱长都为2，d为cc1中点．
ⅰ）求证：ab1⊥面a1bd；
ⅱ）求二面角a－a1d－b的余弦．
解：（ⅰ取bc中点o，连结ao．
△abc为正三角形，∴ao⊥bc．
在正三棱柱abc－a1b1c1中，平面abc⊥平面bcc1b1，ad⊥平面bcc1b．
取b1c1中点o1，以o为原点，，，的方向为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则b(1，0，0)，d(－1，1，0)，a1(0，2，)，a(0，0，)，b1(1，2，0)，(1，2，－)2，1，0)，＝1，2，)．
ab1⊥平面a1bd．
ⅱ）设平面a1ad的法向量为n＝(x，y，z)．
n⊥，n⊥，∴
令z＝1得n＝(－0，1)为平面a1ad的一个法向量．
由（ⅰ）知ab1⊥平面a1bd，为平面a1bd的法向量．
cos＝－，由图知二面角a－a1d－b与互补．
二面角a－a1d－b的余弦为．
15．（本小题14分）某中学有4位学生申请a，b，c三所大学的自主招生．若每位学生只能申请其中一所大学，且申请其中任何一所大学是等可能的．
1）求恰有2人申请a大学的概率；
2）求被申请大学的个数x的概率分布列与数学期望e(x)．
解（1）记“恰有2人申请a大学”为事件a，
p(a答：恰有2人申请a大学的概率为。
2）x的所有可能值为1，2，3．
p(x＝1)＝＝p(x＝2)＝＝p(x＝3)＝＝
x的概率分布列为：
所以x的数学期望e(x)＝1×＋2×＋3
16．(本小题12分)已知函数f(x)＝ex＋ax－1 (a∈r，且a为常数)．
1)求函数f(x)的单调区间；
2)当a＜0时，若方程f(x)＝0只有一解，求a的值．
解：（1）f'(x)＝ex＋a，
当a≥0时，f'(x)＞0，f(x)在(－∞上是单调增函数．
当a＜0时，由f'(x)＞0，得x＞ln(－a)，f(x)在(ln(－a)，＋上是单调增函数；
由f'(x)＜0，得x＜ln(－a)，f(x)在(－∞ln(－a))上是单调减函数．
综上，a≥0时，f(x)的单调增区间是(－∞
a＜0时，f(x)的单调增区间是(ln(－a)，＋单调减区间是(－∞ln(－a))．
2）由（1）知，当a＜0，x＝ln(－a)时，f(x)最小，即f(x)min＝f(ln(－a))，由方程f(x)＝0只有一解，得f(ln(－a))＝0，又考虑到f(0)＝0，所以ln(－a)＝0，解得a＝－1．
17．（本小题12分）已知数列的首项a1＝，an＋1＝(n∈n* )
1) 求证：数列为等比数列，并求的通项公式；
2) 是否存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列，如果存在，请给出证明；如果不存在，请说明理由．
解 （1）因为a1＝，an＋1＝(n∈n* )所以an≠0，所以＝＋，从而有－1＝(－1)，因为－1≠0，所以－1≠0(n∈n* )所以为等比数列．－1＝×(n－1，即＝2×()n＋1，所以an＝( n∈n*)
2）假设存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列，则。
m＋n＝2s，(am－1)( an－1)＝(as－1)2，由（2）得 an＝( n∈n*)，所以 (－1)(－1)＝(1)2，化简，得 3m＋3n＝2×3t，因为3m＋3n≥2＝2×3t，当且仅当3m＝3n，即m＝n时，等号成立．
又因为m，s，n为不相等的正整数，所以不存在互不相等的正整数m，s，n，使m，s，n成等差数列，且am－1，as－1，an－1成等比数列．
18．椭圆c：＋＝1(a＞b＞0)的焦点f1，f2和短轴的一个端点a构成正。
三角形，点(，)在椭圆c上，直线l为椭圆c的左准线．
ⅰ)求椭圆c的方程；
ⅱ)点p是椭圆c上的动点，pq⊥l，垂足为q．是否存在点p，使得。
f1pq为等腰三角形？若存在，求出点p的坐标；若不存在，说明理由．
解 (ⅰ椭圆c的方程为＋＝1(a＞b＞0)．
由已知△af1f2为正三角形，所以sin∠af1o＝＝＝
设b2＝3λ，a2＝4λ(λ0)，所以椭圆的方程为＋＝λ
因为椭圆经过点(，)所以λ＝＋1，所以椭圆c的方程为＋＝1．
ⅱ)由＝e＝，得pf1＝pq．所以pf1≠pq．
若pf1＝f1q，则pf1＋f1q＝pq，与“三角形两边之和大于第三边”矛盾，所以pf1不可能与pq相等．
若f1q＝pq，设p(x，y)(x≠±2)，则q(－4，y)，所以＝4＋x，所以9＋y2＝16＋8x＋x2．
又由＋＝1，得y2＝3－x2．
所以9＋3－x2＝16＋8x＋x2，所以7x2＋32x＋16＝0，解得x＝－或－4．
因为x∈(－2，2)，所以x＝－．所以p(－，
综上，椭圆c上存在点p(－，使得△pf1q为等腰三角形．
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学号姓名2014.4.12 一 填空题 共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处 已知集合m 集合p 且mp，则实数m的取值范围为 2 若复数z满足 1 2i 4 3i，则z 3 某单位有职工100人，其中不到35岁的有45人，35岁到49岁的有25人，50岁及以上的有30...
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