金陵中学高二年级数学检测卷 5

学号姓名。

一．填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处)

1．已知a＝，b＝．若a∪b＝r，则a的取值范围为．

2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈r)，“a＝0”是“z为纯虚数”的条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)

3．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．

4．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度．

5．若直线2ax－by＋2＝0(a，b＞0)过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为．

6．不等式组表示的平面区域内的整点的个数为．

7．如果向量a＝(k，1)与向量b＝(4，k)共线且方向相反，则k的值为．

8．平面α截球o所得的球面圆的半径为1，球心o到平面α的距离为，则此球的体积为．

9．函数f(x)＝|loga|x||的单调递增区间为．

10． (理科)从进入决赛的名选手中选出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．

11．点a(3，－2)关于直线l：2x－y－1＝0的对称点a'的坐标为．

12．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围为．

二．解答题(共6小题，总分80分)

13．已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1．

1)求f(x)的最小正周期；(t－13)

2)求f(x)在区间[－，上的最大值和最小值．(t－14)

14．如图，已知正四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面边长为3，侧棱长为4，连结a1b，过a作af⊥a1b垂足为f，且af的延长线交b1b于e．

1)求证：d1b⊥平面aec；(t－15)

2)(理科)求二面角b－ae－c的平面角的正弦值．(t－16)

2)(文科)求点b到平面aec的距离．(t－16)

某家庭进行理财投资，根据长期市场收益率**，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资**等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．

1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系；(t－17)

2)该家庭现有20万元资金可用于理财投资，问：如何分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？(t－18)

16．已知数列的前n项和为sn，且sn＝n2＋2n－1．

1)求数列的通项公式；(t－19)

2)数列中b1＝1，bn＝a (n≥2)，求数列的通项公式．(t－20)

已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为f1(－3，0)，右准线方程为x＝．

1)求椭圆的标准方程和离心率e；(t－21)

2)设p为椭圆上第一象限的点，f2为右焦点，若△pf1f2为直角三角形，求△pf1f2的面积．(t－22)

18．已知α，β是方程4x2－4tx－1＝0(tr)的两个实数根，函数f(x)＝的定义域为[α，

1)判断f(x)在[α，上的单调性，并证明你的结论；(t－23)

2)设g(t)＝f(x)max－f(x)min，求函数g(t)的最小值．(t－24)

金陵中学高二年级数学检测卷(5)——教师版。

学号姓名。一．填空题(共12小题，每小题5分，共60分，请将正确答案填写到本题后的答题处)

1．已知a＝，b＝．若a∪b＝r，则a的取值范围为．

答案：要使a∪b＝r，如图所示，只需解得－3≤a＜－；

2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈r)，“a＝0”是“z为纯虚数”的条件．(填：充分不必要、必要不充分、充要、既不充分也不必要)

答案：必要不充分；

3．如图是一个算法的流程图，则输出的n的值为．

答案：3；4．为得到函数y＝cos(x＋)的图象，只需将函数y＝sinx的图象向左平移个单位长度．

答案：y＝cos(x＋)＝cos(－x－)＝sin(x＋)，因此左移个单位长度即可；

5．若直线2ax－by＋2＝0(a，b＞0)过圆x2＋y2＋2x－4y＋1＝0的圆心，则ab的最大值为．

答案：圆心为(－1，2)，代入直线得a＋b＝1，所以≤＝，即ab≤；

6．不等式组表示的平面区域内的整点的个数为．

答案：当x＝1时，y＝1或2，当x＝2时，y＝1，因此共有3个整点；

7．如果向量a＝(k，1)与向量b＝(4，k)共线且方向相反，则k的值为．

答案：a，b共线k2＝4，所以k＝±2，又a，b方向相反，故k＝－2；

8．平面α截球o所得的球面圆的半径为1，球心o到平面α的距离为，则此球的体积为．

答案：设球o的半径为r，则r＝＝，故v球＝πr3＝4π；

9．函数f(x)＝|loga|x||的单调递增区间为．

答案：由图易得增区间为(－1，0)和(1，＋∞

或写成“[－1，0)和(1，＋∞或写成“(－1，0)和[1，＋∞或写成“[－1，0)和[1，＋∞

10． (理科)从进入决赛的名选手中选出1名一等奖，2名二等奖，3名三等奖，则可能的决赛结果共有种．

答案：分三步，第一步，一等奖有c种结果；第二步，二等奖有c种结果；第三步，三等奖有c种结果，故共有c·c·c＝60可能的结果；

11．点a(3，－2)关于直线l：2x－y－1＝0的对称点a'的坐标为．

答案：设a'(x0，y0)，则解得故a'(－

12．函数f(x)＝mx2－2x＋1有且仅有一个正实数的零点，则实数m的取值范围为．

答案：函数f(x)过定点(0，1)，当m＝0时，一次函数f(x)＝－2x＋1，满足题意；

当m＜0时，二次函数f(x)＝mx2－2x＋1开口向下，亦满足题意；

当m＞0时，二次函数f(x)＝mx2－2x＋1开口向上，要求解得m＝1；

综上，m的取值范围为(－∞0]∪；

二．解答题(共6小题，总分80分)

13．已知函数f(x)＝4cosxsin(x＋)－1．

1)求f(x)的最小正周期；(t－13)

2)求f(x)在区间[－，上的最大值和最小值．(t－14)

解：(1)f(x)＝4cosxsin(x＋)－1＝4cosx(sinx＋cosx)－1＝sin2x＋2cos2x－1

sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋)，所以f(x)的最小正周期为π．

2)因为－≤x≤，所以－≤2x＋≤，于是，当2x＋＝，即x＝时，f(x)max＝2；

当2x＋＝－即x＝－时，f(x)min＝－1．

14．如图，已知正四棱柱abcd－a1b1c1d1的底面边长为3，侧棱长为4，连结a1b，过a作af⊥a1b垂足为f，且af的延长线交b1b于e．

1)求证：d1b⊥平面aec；(t－15)

2)(理科)求二面角b－ae－c的平面角的正弦值．(t－16)

2)(文科)求点b到平面aec的距离．(t－16)

答案：(1)如图建立空间直角坐标系，易得＝(0，3，－4)，设be＝a，故＝(0，3，a)，因为⊥，所以·＝(0，3，－4)·(0，3，a)＝9－4a＝0，故a＝，易得＝(3，3，－4)，＝0，3，)，3，3，0)，所以·＝(3，3，－4)·(0，3，)＝0，⊥，且·＝(3，3，－4)·(3，3，0)＝0，⊥，又ae∩ac＝a，所以d1b⊥平面aec．

2)(理科)由(1)知d1b⊥平面aec，所以＝(3，3，－4)是平面aec的一个法向量，又因为＝(－3，0，0)是平面abe的一个法向量，所以cos＜，＞sin＜，＞所以二面角b－ae－c的平面角的正弦值为．

15．某家庭进行理财投资，根据长期市场收益率**，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资**等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比．已知投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.125万元和0.5万元(如图)．

1)分别写出两种产品的年收益与投资额的函数关系；(t－17)

2)该家庭现有20万元资金可用于理财投资，问：如何分配资金能使投资获得最大年收益，其最大年收益是多少万元？(t－18)

解：(1)设f(x)＝k1x，g(x)＝k2，所以f(1)＝k1＝，g(1)＝k2＝，即f(x)＝x(x≥0)，g(x)＝ x≥0)．

2)设投资稳健型产品x万元，则投资风险型产品(20－x)万元，依题意得：y＝f(x)＋g(20－x)＝＋0≤x≤20)，令t＝(0≤t≤2)，则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝16万元时，年收益最大为3万元．

形式二：设投资风险型产品x万元，则投资稳健型产品(20－x)万元，依题意得：y＝f(20－x)＋g(x)＝＋0≤x≤20)，令t＝(0≤t≤2)，则y＝＋t＝－(t－2)2＋3，所以当t＝2，即x＝4万元时，年收益最大为3万元．

答：故投资稳健型产品16万元，风险型产品4万元时能获得最大年收益3万元．

16．已知数列的前n项和为sn，且sn＝n2＋2n－1．

1)求数列的通项公式；(t－19)

2)数列中b1＝1，bn＝a (n≥2)，求数列的通项公式．(t－20)

解：(1)当n＝1时，a1＝s1＝2，当n≥2时，an＝sn－sn－1＝n2＋2n－1－(n－1)2－2(n－1)＋1＝2n＋1，因a1不满足上式，所以an＝

2)b1＝1，b2＝a＝a1＝2，b3＝a＝2b2＋1，可归纳证明bn递增，且当n≥3时，bn－1≥2，故bn＝a＝2bn－1＋1，所以bn＋1＝2(bn－1＋1)，又b2＋1＝3，bn＋1＝(b2＋1)·2n－2＝3·2n－2，即bn＝3·2n－2－1，又b1不符合上式，b2符合上式，故bn＝

17．已知椭圆的中心在原点，对称轴为坐标轴，左焦点为f1(－3，0)，右准线方程为x＝．

1)求椭圆的标准方程和离心率e；(t－21)

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