5九年级数学第五周培优辅导

制卷人：朱武雄班级姓名。

一专题内容：二次函数与几何图形结合

等腰三角形的存在性问题。

二典藏回顾。

等腰三角形的存在性问题是中考数学的热点问题，近五年湖北、江苏、浙江、广东等省份的部分市考到过这个问题，也是湖北各市模拟考试的热点．

三专题攻略。

如果△abc是等腰△，那么存在①ab＝ac，②ba＝bc，③ca＝cb三种情况．

已知腰长画等腰三角形用圆规画圆，已知底边画等腰三角形用刻度尺画垂直平分线．

解等腰三角形的存在性问题，有几何法和代数法，把几何法和代数法相结合，可以使得解题又好又快．

几何法一般分三步：分类、画图、计算．

代数法一般也分三步：罗列三边长，分类列方程，解方程并检验．

四例题讲解针对训练。

1 如图，在平面直角坐标系xoy中，已知点d在坐标为(3，4)，点p是x轴正半轴上的一个动点，如果△dop是等腰三角形，求点p的坐标．

2 如图，在矩形abcd中，ab＝6，bc＝8，动点p以2个单位/秒的速度从点a出发，沿ac向点c移动，同时动点q以1个单位/秒的速度从点c出发，沿cb向点b移动，当p、q两点中其中一点到达终点时则停止运动．在p、q两点移动过程中，当△pqc为等腰三角形时，求t的值

3 如图，直线y＝2x＋2与x轴交于点a，与y轴交于点b，点p是x轴正半轴上的一个动点，直线pq与直线ab垂直，交y轴于点q，如果△apq是等腰三角形，求点p的坐标．

五学生练习。

1如图，点a在x轴上，oa＝4，将线段oa绕点o顺时针旋转120°至ob的位置．

1）求点b的坐标；

2）求经过a、o、b的抛物线的解析式；

3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点p，使得以点p、o、b为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点p的坐标；若不存在，请说明理由．

2 如图1，已知正方形oabc的边长为2，顶点a、c分别在x、y轴的正半轴上，m是bc的中点．p(0,m)是线段oc上一动点（c点除外），直线pm交ab的延长线于点d．

1）求点d的坐标（用含m的代数式表示）；

2）当△apd是等腰三角形时，求m的值；

3）设过p、m、b三点的抛物线与x轴正半轴交于点e，过点o作直线me的垂线，垂足为h（如图2）．当点p从o向c运动时，点h也随之运动．请直接写出点h所经过的路长（不必写解答过程）．

图1图23 如图，在矩形abcd中，ab＝m（m是大于0的常数），bc＝8，e为线段bc上的动点（不与b、c重合）．连结de，作ef⊥de，ef与射线ba交于点f，设ce=x，bf＝y．

1）求y关于x的函数关系式；

2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？

3）若y=12/m，要使△def为等腰三角形，m的值应为多少？

4 如图，在△abc中，ab＝ac＝10，bc＝16，de＝4．动线段de（端点d从点b开始）沿bc以每秒1个单位长度的速度向点c运动，当端点e到达点c时运动停止．过点e作ef//ac交ab于点f（当点e与点c重合时，ef与ca重合），联结df，设运动的时间为t秒（t≥0）．

1）直接写出用含t的代数式表示线段be、ef的长；

2）在这个运动过程中，△def能否为等腰三角形？若能，请求出t的值；若不能，请说明理由；

3）设m、n分别是df、ef的中点，求整个运动过程中，mn所扫过的面积．

六学生作业。

1 如图，在平面直角坐标系xoy中，矩形abcd的边ab在x轴上，且ab＝3，bc＝，直线y＝经过点c，交y轴于点g．

1）点c、d的坐标分别是cd

2）求顶点在直线y＝上且经过点c、d的抛物线的解析式；

3）将（2）中的抛物线沿直线y＝平移，平移后的抛物线交y轴于点f，顶点为点e（顶点在y轴右侧）．平移后是否存在这样的抛物线，使△efg为等腰三角形？若存在，请求出此时抛物线的解析式；若不存在，请说明理由。

2 如图，已知△abc中，ab＝ac＝6，bc＝8，点d是bc边上的一个动点，点e在ac边上，∠ade＝∠b．设bd的长为x，ce的长为y．

1）当d为bc的中点时，求ce的长；

2）求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

3）如果△ade为等腰三角形，求x的值．