第一次。
1 写出下列点的齐次坐标。
1）（2,0），（0，2），（1，5）;（2）2x+4y+1=0的无穷远点。
解：k(1,0,1) k(0,2,1) k(1,5,1)
k为非零实数
2、x+4y+1=0的任一点齐次坐标为(x,(-1-x)/4,1)，即
1,-1/(4x)-1/4,1/x),令x为无穷大，则坐标变成(1,-1/4,0)，
即(4,-1,0)为x+4y+1=0的无穷远点坐标。
2 求下列直线的齐次线坐标。
1）x轴 （2）无穷远直线 （3）x+4y+1=0.
解：(1)x轴的齐次线坐标[0,1,0],y轴的齐次线坐标[1,0,0]
3 求下列各线坐标所表示直线的方程：
解：(1) [1,-1,0]所表示的直线的方程是。
(2) [0,1,0] 所表示的直线的方程是x2+x3=0
4 求联接点（1,2,－1）与二直线[2,1,3]，[1，－1，0]之交点的直线方程。
解先求二直线（2,1,3），（1，－1，0）的交点坐标：
x1：x2：x3=
再求两点（1，1，－1），（1，2，－1）的联线的坐标：
u1：u2：u3= 所求直线方程为：x1+x3=0或x+1=0
5 经过a(-3，2)和b(6，1)两点的直线被直线x+3y-6=0截于p点，求简比(abp).
解：设p点的坐标为（x0，yo）
分割比），且p在直线x+3y-6=0上，
解得λ=1，即p是ab中点，且（abp）=－1。
6 经过a(-3，2，2)，b(3，1，-1)两点的直线的线坐标。
u1：u2：u34:9:-9
7 求直线[1,－1,2]与二点[3，4，－1],[5,－3,1]之联线的交点坐标。
解：先求二点（3，4，－1），(5,－3,1)的联线坐标：
u1：u2：u3=
再求二直线（1,－1,2），（1，－8，－29）的交点坐标：
x1：x2：x3=
所求交点坐标为（45，31，－27）。
第二次。1已知共线四点a、b、c、d的交比(ab，cd)=2，则(ca，bd)=_1_
2试证四直线2x－y+1=0,3x+y－2=0, 7x－y=0,5x－1=0共点，并顺这次序求其交比。
证明：以2x－y+1=0和3x+y－2=0为基线表示 7x－y=0，5x－1=0，7x－y=0与（2x－y+1）+λ1（3x+y－2）=0重合，5x－1=0与（2x－y+1）+λ2（3x+y－2）=0重合。
所求交比为，由于交比存在，所以四直线共点。
3、设共线四点，，，求。
解：因为、、、四点共线，可设，
由2= 3+（-1）×1，-2= 1+（-1）×3，-3= -2+（-1）×1；
得，。所以（，
4 设两点列同底，求一射影对应0,1,分别变为1, ,0.
解：设第四对对应点为x x′由定理有。
5 求射影变换的自对应元素。解：
6一直线上点的射影变换是x′=，则其不变点是。
解：x=，则 x=1,x=-2.
7 证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。
2、证明一线段中点是这直线上无穷远点的调和共轭点。
证明：设c为线段ab的中点，d∞为直线ab上的无穷远点，ab·cd∞）
第三次。1举例我们已经学习过的变换群
答：1、射影变换群 2、仿射变换群 3、相似变换群 4、正交变换群。
2下列概念，哪些是仿射的，哪些是欧氏的？
1 非平行线段的相等；②不垂直的直线；③四边形；④梯形；⑤菱形；⑥平行移动；⑦关于点的对称；
2 ⑧关于直线的对称；⑨绕点的旋转； ⑩面积的相等。
3 答：仿射：③四边形 ④梯形 ⑥平行移动 ⑦关于点的对称 ⑩面积的相等。
欧氏：①非平行线段的相等 ②不垂直的直线 ⑤菱形 ⑧关于直线的对称 ⑨绕点的旋转。
3从原点向圆（x－2）2+(y－2)2=1作切线t1,t2。试求x轴，y轴，t1,t2顺这次序的交比。
解： 设直线y=kx与圆相切，则，两边平方得：，解得：k1,2=
∵t1邻近x轴，∴t1的斜率为k1= t2的斜率为k2=，因此t1的方程为y－x=0，t2的方程为y－x=0，故（xy，t1,t2）==
4若有两个坐标系，同以△a1a2a3为坐标三角形，但单位点不同，那么两种坐标间的转换式为何？
解：设变换式为：
已知（1,0,0）→（1,0,0）,（0,1,0）→（0,1,0）,（0,0,1）→（0,0,1）分别代入变换式得。
ρ1=a11，a21=0，a31=0； ρ2=a22，a12=0，a32=0；ρ3=a33，a13=0，a23=0
故有。又（1,1,1）→（a,b,c）
∴即a：b：c = a11：a22：a33
5在二维射影坐标系下，求直线a1e，a2e，a3e的方程和坐标。
解：坐标三角形顶点a1（1，0，0）,a2（0，1，0）,a3（0，0，1）和单位点e（1，1，1） 设p（x1，x2，x3）为直线a1e上任一点，其方程为：
即x2－x3=0，线坐标为（0，1, －1）
直线a2e的方程为：，即x1－x3=0，线坐标为（1，0，－1）；
直线a3e的方程为：，即x2－x1=0，线坐标为（－1，1，0）
6设点a（3，1，2），b（3，-1，0）的联线与圆x2+y2－5x－7y＋6=0相交于两点c和d，求交点c，d及交比（ab，cd）。
解： 圆方程齐次化：x12+x22－5x1x3－7x2x3+6x23=0, 设直线ab上任一点的齐次坐标是（3+3λ，1－λ，2），若此点在已知圆上，则。
3+3λ）2+（1－λ）2 －5（3+3λ）2－7（1－λ）2+6×22 =0，化简得：10λ2－10=0， ∴1=1，λ2=-1，即直线ab与圆有两个交点，设λ1，λ2分别对应的交点是c，d，则c的坐标是（3,0,1），d的坐标是（0,1,1）
且（ab，cd）==1.
第四次。1写出下列的对偶命题。
1） 三点共线。
2） 射影平面上至少有四个点，其中任何三点不共线。
解：（1）三线共点。
2）射影平面上至少有四条直线，其中任何三条直线不共点。
2 已知是共线不同点，如果。
解：设。由。由。所以。
3证明巴卜斯定理：设a1,b1,c1三点在一直线上，a2,b2,c2三点在另一直线上，b1c2与b2c1的交点为l,c1a2与c2a1的交点为m,a1b2与a2b1的交点为n,证明：l,m,n三点共线。
证明：如图所示， ，于是，所以，
在这个射影对应中，二点列底的交点是自对应，所以。
由透视对应的定义，可知三直线共点，也就是ln通过和的交点。
lmn称为巴卜斯线。
4求二次曲线xy+x+y=0的渐近线方程。
解：先求出中心，因为：
所以中心为，代入（2.11）得渐近线方程：
即：x=-1,y=-1
5 . 求通过两直线交点且属于二级曲线的直线。
解：通过直线的交点的直线的线坐标为。
若此直线属于二阶曲线则有。
即解得。6 求点（5，1，7）关于二阶曲线的极线。
解：设（5，1，7）为p点坐标， 二阶曲线矩阵为。
a所以点p的极线为sp=0
即得 x2=0
1 求（1）二阶曲线的切线方程。
解：将点代入二次曲线，因为，所以该点在二次曲线上，故所求的切线方程为。
即为所求的切线方程．
（2）二级曲线在直线l[1，4，1] 上的切点方程。
解：设p（x1,x2,x3）为二级曲线在直线l[1，4，1] 上的切点，则可知。
即。故所求的切点方程为。
2(1)求二次曲线 x2+3xy-4y2+2x－10y=0的中心与渐近线。
解：二次曲线的齐次方程为：x12+3x1x2-4x22+2x1x3－10x2x3=0，二次曲线为常态的，设中心。
则中心为。求渐近线方程：a11x2+2a12xy+a22y2=0， x=x－ξ，y=y－η。
从x2+3xy－4y2=0 →（x+4y）（x－y）=0.
x+4y=(x－)+4 (y+)=0→5x+20y+18=0，x－y=(x－)－y+)=0→5x－5y－8=0。
2)求二阶曲线的过点的直径及其共轭直径。
解：因。故二次曲线的中心为，非齐次坐标为。
设直径为因为过点（1，1，1），所以，带入上式，得直径为。
的共轭直径为； =所以的共轭直径为：。
3已知二阶曲线（c）：
1） 求点关于曲线的极线 2、求直线关于曲线的极点。
解：(1)将点（1，2，1）的坐标及的值代入极线方程：
即（2*1+2*2+3*1）x1+(2*1+0+0)x2+(3*1+0+1*1)x3＝0
整理即得所求极线方程为。
9 x1+ 2 x2+4 x3＝0
(2) 由。
可知 2y1 +2y2 +3y3 =3 2 y1=-1 3 y1+ y3=6解得y1 =-1/2 y2 = 37/4 y3=15/2
直线关于曲线的极点（2，37，-30）
4证明双曲线：的两条以λ，λ为斜率的直径成为共轭的条件是λλ'
解：渐近方向为b2x2－a2y2=0，渐近斜率为k=，k'=－是一对共轭直径的斜率，故（ λkk'）=1,即，化简后得： 2λλ'2kk'=0
因为kk'=，所以λλ'
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