24.4.1 三角形的中位线。
随堂检测。1.如图，d、e、f分别为△abc三边上的中点。
1）线段ad叫做△abc的 ，线段de叫做△abc的 ，de与ab的位置和数量关系是。
2）图中全等三角形有。
3）图中平行四边形有。
2. 三角形各边长为，则连结各边中点所构成的三角形的周长是 .
3. 如图，在矩形abcd中，bc＝8cm，ac与bd交于o，m、n分别为oa、od的中点。
求证：四边形bcnm是等腰梯形。
4. 已知：如图，矩形abcd中，e、f、g、h分别为ab、bc、cd、ad的中点。
求证：四边形efgh是菱形。
5、如图，要测出池塘的宽度ab，小强在池塘边上取一个能直接到达a、b的点c，量的ac=20cm，bc=25cm，又取ac的中点d，bc的中点e，量得de=12cm，求池塘宽ab，为多少？
典例分析。如图，在梯形abcd中，ad∥bc，e是dc的中点，ef∥ab交bc于f，若ef=3，求ab的长。
解：过d作dg∥ab交bc于g，∵ad∥bc，ab∥dg，四边形abgd是平行四边形，∴ab=dg.
ef∥ab，∴ef∥dg，∵de=ce，∴gf=cf.
ef是△cdg的中位线，∴ef=dg.
dg=2ef=6，即ab=6.
点拨：此题目在考察三角形中位线的同时考察了平行四边形的判定问题，解题时注意条件的转化。
课下作业。拓展提高。
1、如图，d、e、f分别为△abc三边上的中点，g为ae的中点，be与df、dg分别交于p、q两点，则pq∶be
2、如图，e、f、g、h分别是bd、bc、ac、ad的中点，又ab＝dc，下列结论：①efgh为矩形；②fh平分eg于t；③eg⊥fh；④hf平分∠ehg.其中正确的是（ ）
a、①和b、②和cd、②③
3、如图，已知△abc的周长为1，连结△abc三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个三角形三边的中点构成第三个三角形，依此类推，第2008个三角形的周长为（ ）
ab、cd、
4、如图，在△abc中，d、e、f分别是各边的中点，ah是bc边上的高．
(1)试判断四边形dhef是什么样的四边形，并证明之；
(2)①当ab、ac之间满足什么关系时，四边形dhcf是平行四边形？并请证明之；②四边形dhcf能否为矩形或菱形？(直接写出结论．不要证明)
5、 如图，四边形各边中点及对角线中点共六个点中，任取四个点连成四边形中，最多可以有几个平行四边形，证明你的结论。
6、 如图，在四边形abcd中，ab＞cd，e、f分别是对角线bd、ac的中点。
求证：ef＞.
体验中考。1、(2023年安顺)如图，已知等边三角形abc的边长为2，de是它的中位线，则下面四个结论：（1）de=1，（2）△cde∽△cab，（3）△cde的面积与△cab的面积之比为1：
4.其中正确的有：（
a．0个 b．1个 c．2个 d．3个。
1题图2题图。
2、（2023年湖南怀化）如图1，、分别是、的中点，则（ ）
a． 1∶2 b．1∶3 c．1∶4d． 2∶3
3、(2023年抚顺市)如图所示，已知点分别是中边的中点，相交于点，，则的长为（ ）
a．4 b．4.5 c．5 d．6
4、（2023年莆田）如图，两处被池塘隔开，为了测量两处的距离，在外选一适当的点，连接，并分别取线段的中点，测得=20m，则m．
参***：随堂检测：
1、（1）中线，中位线，∥ab，de=ab.
2）△aef≌△def≌△fbd≌△edc.
3）afde， fbde， fdce.
3、证mn∥bc且mn≠bc.
4、证明：连结ac、bd.
ae=be，bf=cf，∴ef∥ac，ef=ac.
同理ch∥ac，ch=ac，∴efac，∴四边形efgh是平行四边形。
ae=be，ah=dh，∴eh=bd.
又∵ac=bd，∴ef=eh，∴四边形efgh是菱形。
5、解：∵点d是ac的中点，点e是bc的中点，de是△abc的中位线。
de =ab
又∵de=12cm
ab=24cm拓展提高：
2、d3、c
4、(1)点拨：等腰梯形，易证得df∥bc，四边形dhef是梯形．再证得dh=ab=ef，四边形dhef是等腰梯形． (2)①ab=ac，证明略 ②四边形dhcf不可能是矩形，但可能是菱形
5、最多有三个。
6、作ad的中点g,连接eg,fg,因为e,f分别为四边形abcd的对角线bd、ac的中点。
所以eg=cdfg=ab
所以：fg-eg= (ab-cd)
由三角形本身性质，任意二边之差小于第三边。
所以：在三角形efg中，fg-eg＜ef
即：ef﹥体验中考：
1、d2、c3、d
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